第3章 3.2 3.2.1 第1课时 函数的单调性（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

3．2　函数的基本性质 3．2.1　单调性及最大(小)值 第1课时　函数的单调性 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 【思考】　 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 【答案】　(1)不是；(2)不能． 2．函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】　(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. 1．如果f(x)在区间[a，b]和[b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　　) 2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　　) 3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　) 4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.×　4.√ 一、函数单调性的判定与证明 　证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． 【证明】　设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋) ＝(x1－x2)＋(－) ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)(1－) ＝ ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0，0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴>0， 即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． 【反思感悟】　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 1．根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1，1)上的单调性． 【解】　当a＝0时，f(x)＝0，在(－1，1)上不具有单调性， 当a≠0时，设x1，x2为(－1，1)上的任意两个数，且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ 因为x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 所以>0， 当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递减， 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递增． 综上，当a＝0时，f(x)在(－1，1)上不具有单调性； 当a>0时，f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增． 二、求单调区间并判断单调性 　(1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是 ，在区间 上是增函数． 【答案】　[－2，1]和[3，5]　[－5，－2]和[1，3] 【解析】　观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5]． (2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间． 【解】　y＝ 即y＝ 函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)． 【反思感悟】　 (1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 2．(1)函数y＝的单调递减区间是 ． (2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性． 【答案】　(1)(－∞，1)，(1，＋∞) (2)【解】　y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1，1]，[1，3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1，3]；单调递增区间是[－1，1]，[3，＋∞)． 三、单调性的应用 　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是 ． (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． 【答案】　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1) 【解析】　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4. ∴实数a的取值范围为(－∞，－4]． (2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1)． 【反思感悟】　函数单调性的应用： (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围． 【解】　由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2. 所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)． 2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围． 【解】　由题意可知，解得x>. ∴x的取值范围为(，＋∞)． 1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 【答案】　C 【解析】　函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数． 2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 【答案】　B 【解析】　易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　) A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1) C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2) 【答案】　D 【解析】　二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上为增函数，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)． 4．定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)<f(a)，则实数a的取值范围是 ． 【答案】　(，2) 【解析】　由题设知实数a应满足： 解得<a<2. 5．已知函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围． 【解】　由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.故实数a的取值范围为(－∞，5]． 1．知识归纳： (1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：函数的单调区间不能用并集，只能用“和”或“，”连接． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$