第3章 3.1 3.1.2 第2课时 分段函数（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　分段函数 1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点、难点) 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点) 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 1．函数f(x)＝是分段函数．(　　) 2．分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　) 3．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　) 4．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.×　4.√ 一、分段函数求值 　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值． (2)若f(a)＝3，求实数a的值． (1)【解】　由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]， 知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2. 因为f(－)＝－＋1＝－， －2<－<2. 所以f(f(－))＝f(－)＝(－)2＋2×(－)＝－3＝－. (2)【解】　①当a≤－2时，f(a)＝a＋1， 所以a＋1＝3， 所以a＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. 所以(a－1)(a＋3)＝0， 所以a＝1或a＝－3. 因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， 所以a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3， 所以a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 【反思感悟】 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 1．已知f(x)＝ (1)求f(2)，f(f())； (2)若f(x)＝，求x的值； (3)若f(x)≥，求x的取值范围． 【解】　(1)f(2)＝1， f()＝()2＝， 所以f(f())＝f()＝. (2)f(x)＝等价于① 或② 解①得x＝±，②的解集为∅. ∴当f(x)＝时，x＝±. (3)∵f(x)≥，∴ 或 解得x≥或x≤－， ∴x的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)． 二、分段函数的图象及应用 　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 【解】　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2<x<0时， f(x)＝1＋＝1－x， ∴f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． 【反思感悟】　分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 2．已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的值域． 【解】　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0，1]． 三、分段函数的实际应用 　A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象． 【解】　(1)汽车从A地到B地，速度为50 公里/小时， 则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)． (2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150. (3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时， 则有s＝150－60(t－5)＝450－60t， 从B地到A地用时＝2.5(小时)． 综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为 s＝ 函数图象如图所示． 【反思感悟】　 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养． 3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【解】　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]． 由题意得函数的解析式如下： y＝ 函数图象如图所示： 1．函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 【答案】　(－1，1)　(－1，1) 2.函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为 ． 【答案】　f(x)＝ 【解析】　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x； 当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时， f(x)＝3. 综上f(x)＝ 3．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A.　　　　　　 B．3 C. D． 【答案】　D 【解析】　∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝()2＋1＝. 4．f(x)＝则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 【答案】　A 【解析】　∵f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21， ∴f(5)＝f(21)＝24.故选A. 5．已知f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 【答案】　C 【解析】　当a≤－2时，a<－3，∴a<－3； 当－2<a<4时，a＋1<－3，a<－4，此时不等式无解； 当a≥4时，3a<－3，a<－1此时不等式无解，故选C. 1．知识归纳： (1)分段函数的概念及求值． (2)分段函数的图象． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合法． 3．常见误区： (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$