第3章 3.1 3.1.2 第1课时 函数的表示法（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

3．1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．(重点) 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点) 函数的表示法 【思考】　 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 【解析】　提示：不一定． 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 1．任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) 2．函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．(　　) 【答案】　1.×　2.× 一、函数的表示方法 　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【解】　①列表法如下： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 【反思感悟】　列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域．(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．(3)图象法中要注意是否连线． 1．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1 B．2 C．4 D．5 【答案】　B 【解析】　由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B. 二、图象的画法及应用 　作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)． 【解】　(1)列表： x 0 1 －2 3 y 0 －1 2 －3 函数图象只是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}． (2)列表 x 2 3 4 5 … y 1 … 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)列表 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x＜2之间的部分． 由图可得函数的值域是[－1，8)． 【反思感悟】　描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈． 2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 【解】　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②. 三、函数解析式的求法 　(1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝ ； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝ ； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝ ． 【答案】　(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)2x＋或－2x－8　(3)x－1 【解析】　(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3， 因为＋1≥1， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． (2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8， 所以a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得 消去f(－x)可得f(x)＝x－1. 【反思感悟】　 1．已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法： (1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围． (2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． 2．方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 1．(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x”．求f(x)的解析式． 【解】　设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1. 又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1， ∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b. 由2ax＋a＋b＝2x，得 解得a＝1，b＝－1. ∴f(x)＝x2－x＋1. 2．(变条件)把本例(3)的题干改为“2f()＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式． 【解】　f(x)＋2f()＝x，令x＝， 得f()＋2f(x)＝. 于是得关于f(x)与f()的方程组 解得f(x)＝－(x≠0)． 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A.2　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 【答案】　C 【解析】　由表可知f(11)＝4. 2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 【答案】　A 【解析】　法一：设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x. 法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)， ∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A. 3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝ . x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 【答案】　1 【解析】　由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1，故填1. 4．已知函数f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3，则f(x)＝ ． 【解】　由 解得 故f(x)＝x2－6x＋5. 5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 【解】　(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3]． 1．知识归纳： (1)函数的三种表示方法； (2)求函数解析式； (3)函数的图象． 2．方法归纳： (1)待定系数法、换元法． (2)数形结合法． 3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$