第3章 3.1 3.1.1 函数的概念（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第三章　函数的概念与性质 3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3．能够正确使用区间表示数集．(易混点) 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 【思考1】　有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 【解析】　提示：这种看法不对，符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【思考2】　区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 【解析】　提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 1．区间表示数集，数集一定能用区间表示．(　　) 2．数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．(　　) 3．函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　) 4．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．(　　) 5．函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.√　4.×　5.× 一、函数关系的判断 　下列对应关系式中是A到B的函数的是(　　) A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1 B．A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，f：x→y＝|x|＋1 C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 【答案】　B 【反思感悟】　判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A，B必须是非空实数集； (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一． 1．下列图象中，可作为函数图象的是 ．(填序号) 【答案】　①③④ 二、求函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)y＝2－； (2)y＝； (3)y＝＋. 【解】　(1)由得0≤x≤， 所以函数y＝2－的定义域为[0，]． (2)由于0的零次幂无意义， 故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以x>－2且x≠－1. 所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． (3)由 解得－2≤x＜0或0<x≤2， 所以函数y＝＋的定义域为[－2，0)∪(0，2]． 【反思感悟】　求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 2．求下列函数的定义域． (1)y＝－； (2)y＝＋. 【解】　(1)由得 所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}． (2)由 得x≤－或2≤x＜4， 所以定义域为(－∞，－]∪[2，4)． 三、求函数值 　已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值． 【解】　(1)因为f(x)＝， 所以f(2)＝＝. 又因为g(x)＝x2＋2， 所以g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝＝. 【反思感悟】　函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 3．已知f(x)＝则f(f(2))＝ ． 【答案】　－ 【解析】　f(2)＝－22＋1＝－3， ∴f(f(2))＝f(－3)＝－. 四、同一函数的判断 　(1)下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一函数的是 (填序号)． 【答案】　⑤ 【解析】　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数． (2)试判断函数y＝·与函数y＝是否为同一函数，并说明理由． 【解】　不相同．对于函数y＝·，由解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数． 【反思感悟】　判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 4．下列各组函数是同一函数的是(　　) A．y＝1，y＝ B．y＝·，y＝ C．y＝|x|，y＝()2 D．y＝x，y＝ 【答案】　D 【解析】　A，B，C中的两函数定义域均不相同，故选D. 1．下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　) ①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数． A．①④　　　　　　 B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】　A 【解析】　根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1. 2．已知函数f(x)＝，则f()＝(　　) A. B． C．a D．3a 【答案】　D 【解析】　f()＝＝3a.故选D. 3．函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　要使f(x)有意义，只需满足{1－3x≥0，x≠0}，即x≤且x≠0，故选D. 4．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) 【答案】　B 【解析】　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B. 5．已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．有②④ D．有②③④ 【答案】　C 【解析】　对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同． 1．知识归纳： (1)函数的概念． (2)求函数的定义域、函数值． (3)同一函数的判断． 2．方法归纳：数学抽象． 3．常见误区：化简函数的对应关系时要注意定义域的变化． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$