第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

章末复习课 1．不等式的性质 (1)a>b⇔b<a； (2)a>b，b>c⇒a>c； (3)a>b⇔a＋c>b＋c； (4)a>b，c>0⇒ac>bc； (5)a>b，c<0⇒ac<bc； (6)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (7)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn； (9)a>b>0，n∈N，n≥2⇒>. 2．基本不等式求最大(小)值问题 利用基本不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”．常常需要对代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型． 3．一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)(其中a>0)的解集． Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不等的实根(x1<x2) 有两个相等的实根 (x1＝x2) 没有实根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 要点一　不等式性质的应用 1．不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． 2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养． 　下列结论正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，c<0，则a＋c<b＋c D．若<，则a<b 【答案】　D 1．设a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　) A．a＋≥2　　　 B．a2＋b2≥2ab C．a＋b＋≥2 D．＋≥2＋ 【答案】　D 要点二　解不等式 1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)． 【解】　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，a<a2， 原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，a2＝a，原不等的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>1时a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}． 2．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是， (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 【解】　(1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2， 由根与系数的关系，得 解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得>3，即－3>0， 整理得>0， 即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}． 要点三　基本不等式 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 　(1)设x<－1，求y＝的最大值． (2)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是(　　) A．3＋2 B．3－2 C．6－4 D．6＋4 【解】　(1)∵x<－1，∴x＋1<0. ∴－(x＋1)>0， ∴y＝＝ ＝＝(x＋1)＋＋5 ＝－[－(x＋1)＋]＋5≤－2＋5＝1， 当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取等号． (2)D　＋＋＝(＋＋)(a＋2b＋c) ＝4＋＋＋＋＋＋ ≥4＋2＋2＋2 ＝6＋4， 当且仅当＝，＝，＝， 即a＝c＝1－，b＝时，等号成立． 3．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值． 【解】　因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋) ＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当＝，即＝时，等号成立， 所以x＋y的最小值为(＋)2＝18， 又a＋b＝10，所以ab＝16. 所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根， 所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 要点四　恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种． (1)变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法： 将参数分离转化为求解最值问题． (3)数形结合法： 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． 　(1)已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． (2)若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． (1)【解】　法一：y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0. ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1<恒成立，只需x2－x＋1小于的最小值，即x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔<x<. ∴x的取值范围为. 法二：设关于m的函数y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6. 由题意知y<0对1≤m≤3恒成立． ∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在1≤m≤3上随x的增大而增大， ∴y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0， 即(x2－x＋1)·3－6<0⇔x2－x－1<0⇔<x<， ∴x的取值范围为. (2)【解】　∵1<x<4， ∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>. 令y＝，且1<x<4， 则y＝＝－2(－)2＋≤， 当且仅当＝，即x＝2时，函数y取得最大值， ∴a>即为所求． 4．对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 【解】　由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4， g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零， 所以 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$