第2章 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　一元二次不等式的应用 1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2．理解三个“二次”之间的关系． 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 1．分式不等式的解法 2．一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 3．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 1．不等式>1的解集为x<1.(　　) 【答案】　× 【解析】　>1⇒－1>0⇒<0⇒{x|0<x<1}．故(1)错． 2．求解m>ax2＋bx＋c(a<0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．(　　) 【答案】　× 【解析】　m>ax2＋bx＋c(a<0)恒成立转化为m>ymax，故(2)错． 一、简单分式不等式的解法 　解不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 【解】　原不等式可化为(x＋1)(2x＋1)<0， ∴－1<x<－， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，∴>0，则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 【反思感悟】　 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 1．解下列不等式：(1)≥0；(2)<3. 【解】　(1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3时可改写为－3<0， 即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 二、一元二次不等式的实际应用 　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 【解】　(1)依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为 200a×10%＝20a(万元)． 依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}． 【反思感悟】　解不等式应用题的步骤 2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． 【解】　设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0<x≤100. 三、 不等式的恒成立问题 　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 【解】　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则⇒－4<m<0. ∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}． (2)y<－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝(x－)2＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴只需m<即可． ∴m的取值范围为. 【反思感悟】　 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0； 当a≠0时， (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0； 当a≠0时， (3)对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法． 3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，求实数a的取值范围． 【解】　－2<a≤2　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立； 当a－2≠0，即a≠2时，则有 解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是－2<a≤2. 1．不等式≤0的解集是(　　) A．{x|x<－1或－1<x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1或x≥2} D．{x|－1<x≤2} 【答案】　D 【解析】　此不等式等价于 ∴－1<x≤2. 2．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　) A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} 【答案】　B 【解析】　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400(20－t)×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5. 3．不等式≥－1的解集是 ． 【答案】　{x|x≤0或x>1} 【解析】　≥－1⇒＋1≥0⇔≥0⇔∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}． 4．已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为 ． 【答案】　 【解析】　由题意知Δ<0，即1－4k<0， 得k>，即k的取值范围为. 5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ． 【答案】　a>4或a<－4 【解析】　∵x2＋ax＋4<0的解集不是空集， 即不等式x2＋ax＋4<0有解， ∴Δ＝a2－4×1×4>0，解得， a>4或a<－4. 1．知识归纳： (1)简单的分式不等式的解法 (2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： ①选取合适的字母表示题目中的未知数； ②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； ③求解所列出的不等式(组)； ④结合题目的实际意义确定答案． 2．方法归纳：转化、恒等变形． 3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$