第2章 2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式及其解法 1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 【思考1】　不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 【解析】　提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 【思考2】　类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 【解析】　提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 4．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) 【答案】　× 【解析】　当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式． 2．若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　) 【答案】　× 【解析】　因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R. 3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　) 【答案】　× 【解析】　当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立． 4．不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　) 【答案】　√ 【解析】　因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R. 一、解不含参数的一元二次不等式 　解下列不等式： (1)－x2＋5x－6>0； (2)3x2＋5x－2≥0； (3)x2－4x＋5>0. 【解】　(1)不等式可化为x2－5x＋6<0. 因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3. 由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2<x<3}． (2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0， 所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝. 由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(如图②)，得原不等式的解集为. (3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R. 【反思感悟】　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 1．解下列不等式： (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 【解】　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 二、三个“二次”间的关系及应用 　已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3<x<2}． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围． 【解】　(1)因为y>0的解集为{x|－3<x<2}， 所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根， 所以解得 所以y＝－3x2－3x＋18. (2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－. 所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R. 【反思感悟】　 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题． 2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【解】　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a·(x－)(x－)<0，故原不等式的解集为. 三、含参数的一元二次不等式的解法 　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)． 【解】　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)(x－)≤0. 当－2<a<0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a<－2时，－1≤x≤. 综上所述， 当－2<a<0时，解集为； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 当a<－2时，解集为. 【反思感悟】　解含参数的一元二次不等式的一般步骤 3．若a>0，求关于x的不等式x2－(a＋)x＋1≤0的解集． 【解】　x2－(a＋)x＋1≤0⇔(x－)(x－a)≤0， ①当0<a<1时，a<，不等式的解集为； ②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}； ③当a>1时，a>，不等式的解集为； 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； 当a>1时，不等式的解集为. 1．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】　C 【解析】　由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根且a>0，∴－7×(－1)＝，故a＝3. 2．不等式x2－3x－10<0的解集是 ． 【答案】　{x|－2<x<5} 【解析】　由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－2<x<5}． 3．一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集为R，则a的取值范围是 ． 【答案】　{a|a<－1} 【解析】　由题意知∴ ∴a<－1. 4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是 ． 【答案】　{k|k≥4或k≤2} 【解析】　x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. 5．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0. 【解】　原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0. ①若a>0，则－a<x<2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x<2a}； ②若a<0，则2a<x<－a，此时不等式的解集为{x|2a<x<－a}； ③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为∅. 1．知识归纳：解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论． 3．常见误区：(1)当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的． (2)对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$