第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　基本不等式的应用 1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 已知x，y都是正数， (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 1．对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值．(　　) 【解析】　a，b为正实数． 【答案】　× 2．对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值．(　　) 【答案】　× 【解析】　a，b为正实数． 3．若x>2，则x＋的最小值为2.(　　) 【答案】　× 【解析】　当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2. 一、利用基本不等式求最值 　(1)已知x>2，求x＋的最小值； (2)已知＋＝1，(x>0，y>0)，求x＋y的最小值． 【解】　(1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时， 等号成立． ∴x＋的最小值为6. (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝4＋2(＋)≥4＋4＝8. 当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8. 【反思感悟】　利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章3.2函数的基本性质中学习． 1．(1)若x<0，求＋3x的最大值； (2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 【解】　(1)因为x<0，所以＋3x＝－[(－)＋(－3x)]≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以＋3x的最大值为－12. (2)法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋ ＝(x－8)＋＋10≥2 ＋10＝18. 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 法二：由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，得＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)(＋) ＝＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 二、基本不等式在实际问题中的应用 　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【解】　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知xa＝360，得a＝， ∴y＝225x＋－360. ∵x>0， ∴225x＋≥2 ＝10 800. ∴y＝225x＋－360≥10 440. 当且仅当225x＝，等号成立． 【反思感悟】　在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数．(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案． 2．2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少． 【解】　由题意，得k＋9＝10，即k＝1， 生产1 000千克该产品需要的时间是， 所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为 y＝(x2＋9)＝1 000(x＋)≥1 000×2 ＝6 000， 当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且1<3<10. 故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克． 三、基本不等式的综合应用 　(1)已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． 【解】　(1)∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋2y＝(＋)(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18. (2)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10　　　　　　　 B．9 C．8 D．7 【答案】　B 【解析】　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)(＋)恒成立，而(2a＋b)(＋)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9. 【反思感悟】　利用基本不等式求条件最值的常用方法 (1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值． (2)构造法： ①构造不等式：利用ab≤()2，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围； ②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值． (3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值． 3．(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求＋的最小值． (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 【解】　(1)法一：＋＝(＋)·1 ＝(＋)·(a＋2b)＝1＋＋＋2 ＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当即时，等号成立． ∴＋的最小值为3＋2. 法二：＋＝＋＝1＋＋＋2 ＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当即时，等号成立， ∴＋的最小值为3＋2. (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤[]2＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 法二：∵0<x<，∴－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x(－x)≤3·()2＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 1．当x>0时，＋4x的最小值为(　　) A．4　　　　　　　　 B．8 C．8 D．16 【解析】　∵x>0，∴>0，4x>0. ∴＋4x≥2 ＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. 【答案】　C 2．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．－ B．－1 C．2 D．0 【答案】　D 【解析】　因为x>－2，∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝－1时等号成立． 3．已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝ ． 【答案】　36 【解析】　4x＋≥2 ＝4. 当且仅当4x＝，即4x2＝a时等号成立． 由题意得a＝4×32＝36. 4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 【解析】　由题意得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)， 所以1＋x＝≤＝1＋， 所以x≤，当且仅当a＝b时等号成立． 【答案】　x≤ 5．已知x>0，求函数y＝的最小值． 【答案】　9 【解析】　∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9. 1．知识归纳： (1)已知x，y是正数． ①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． ②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤． ①审题，②建模(列式)，③解模，④作答． 2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$