第2章 2.2 第1课时 基本不等式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

2．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤()2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　　) 2．n∈N*时，n＋>2.(　　) 3．x≠0时，x＋≥2.(　　) 4．若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.×　4.× 一、与基本不等式有关的比较大小问题 　设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b 【答案】　B 【解析】　法一：∵a<b且< ∴a＝<<<＝b，故选B. 法二：取a＝1，b＝2可得只有B正确． 【反思感悟】　利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 1．已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C.≥2 D．≥ 【答案】　D 【解析】　由≥得a＋b≥2， ∴A成立； ∵＋≥2 ＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． 二、用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 【证明】　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋) ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时取等号． ∴＋＋>9. 【反思感悟】　条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0. 【证明】　∵a，b，c都是正数， ∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2， ∴2(a＋b＋c)＝a＋b＋a＋c＋b＋c≥2＋2＋2 ∴a＋b＋c≥＋＋ 即：a＋b＋c－－－≥0. 1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a>>>b B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 【答案】　C 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2 【答案】　C 3．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 【答案】　C 4．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 【答案】　D 5．已知x>－1，则的最小值为 ． 【答案】　16 1．知识归纳： 两个不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，≥(a，b都是正数)． 2．方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式． 3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$