第2章 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　等式性质与不等式性质 1．掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点) 3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异． 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a． (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c． (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 5 同向可 加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同 正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 1．若a>b，则ac>bc一定成立．(　　) 2．若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 【答案】　1.×　2.× 一、利用不等式性质判断命题真假 　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 【答案】　D 【解析】　法一：∵c2≥0，∴c＝0时， 有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>， 故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则＝，＝1. 有<，故B错． 取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2， 有<，故C错． 【反思感悟】　首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算． 1．下列命题正确的是(　　) A．若a2>b2，则a>b B．若>，则a<b C．若ac>bc，则a>b D．若<，则a<b 【答案】　D 【解析】　A错，例如(－3)2>22；B错，例如>；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac>bc，但a<b. 二、利用性质比较大小 　若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为(　　) A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定 【答案】　C 【反思感悟】　比较大小的两种方法 作商比较法 乘方比较法 依据 a>0，b>0，且>1⇒a>b； a>0，b>0，且<1⇒a<b a2>b2且a>0，b>0⇒a>b 应用 范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号 步骤 ①作商 ②变形 ③判断商值与1的大小 ④下结论 ①乘方 ②用作差比较法或作商比较法 2．下列命题中一定正确的是(　　) A．若a>b，且>，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b，且ac>bd，则c>d 【答案】　A 三、利用不等式的性质求范围 　已知1<a<4，2<b<8，试求a－b与的取值范围． 【解】　因为1<a<4，2<b<8， 所以－8<－b<－2. 所以1－8<a－b<4－2， 即－7<a－b<2. 又因为<<，所以<<＝2， 即<<2. 反思感悟　求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减． 3．已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是 ． 【答案】　－<2a－b< 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 【答案】　A 【解析】　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0.∴M>N. 2．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 【答案】　D 【解析】　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D. 3．若8<x<10，2<y<4，则的取值范围为 ． 【答案】　2<<5 【解析】　∵2<y<4，∴<<. 又∵8<x<10，∴2<<5. 4．下列命题中，真命题是 (填序号)． ①若a>b>0，则<；②若a>b，则c－2a<c－2b；③若a<0，b>0，则<；④若a>b，则2a>2b. 【答案】　①②④ 【解析】　①a>b>0⇒0<<⇒<；②a>b⇒－2a<－2b⇒c－2a<c－2b；对③取a＝－2，b＝1，则<不成立．④正确． 5．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 【答案】　A 【解析】　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1. ∴－2<α－β<2，但α<β.故知－2<α－β<0. 1．知识归纳： (1)等式的性质． (2)不等式的性质及其应用． 2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法． 3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$