第2章 2.1 第1课时 不等关系与不等式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) 1．不等关系 不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的比较大小 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b>0 a>b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b<0 a<b 3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2a≥b2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) 2．若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　) 3．若a>b，则ac>bc一定成立．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.× 一、用不等式(组)表示不等关系 　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组)． 【解】　设截得500 mm的钢管x根， 截得600 mm的钢管y根，根据题意，得 【反思感悟】　在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． 1．某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 【解】　提价后销售的总收入为(8－×0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8－×0.2)x≥20(2.5≤x＜6.5)． 二、实数(式)的比较大小 　已知a>0，试比较a与的大小． 【解】　因为a－＝＝，a>0， 所以当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<. 综上，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<. 【反思感悟】　作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号．变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系。 第三步：得出结论． 2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 【解】　3x3－(3x2－x＋1) ＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 三、重要不等式 　已知a>0，求证：a＋≥2. 【证明】　利用a2＋b2≥2ab. ∵a>0，∴a＋＝()2＋()2≥2·＝2. 1．实数x大于，用不等式表示为(　　) A．x< B．x≤ C．x> D．x≥ 【答案】　C 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为(　　) A．4×2x≥100 B．4×2x≤100 C．4×2x>100 D．4×2x<100 【答案】　C 【解析】　当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100. 3．若x∈R，则与的大小关系为 ． 【答案】　≤ 【解析】　－＝＝≤0. ∴≤. 4．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为 ． 【答案】　10y＋x>70 【解析】　该两位数可表示为10y＋x， ∴70<10y＋x. 5．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐5 t、硝酸盐14 t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐2 t、硝酸盐13 t，现库存磷酸盐20 t、硝酸盐60 t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式． 【解】　设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： 1．知识归纳： (1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)． (2)比较大小． (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法． 3．常见误区：实际问题中变量的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$