第1章 1.5 全称量词与存在量词（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，从概念（全称量词“∀”、存在量词“∃”）入手，通过命题辨析、真假判断（如正方形、方程解实例）到命题否定（如∀x∈M,p(x)否定为∃x∈M,¬p(x)），构建层层递进的学习支架。 资料以“思考”环节（如一元二次方程量词判断）引导学生用数学眼光观察问题，例题（如n²>2ⁿ的否定）培养逻辑思维，参数范围题强化转化思想。课中助力教师高效授课，课后知识归纳与练习帮助学生查漏补缺，提升数学表达与解决问题能力。

1．5　全称量词与存在量词 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义． 2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点) 3．能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定．(重点、易混点) 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 【思考】　 “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． 【解析】　提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 1．命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．(　　) 2．命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．(　　) 3．命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∈R，x2－3x＋3≤0.(　　) 【答案】　1.√　2.×　3.× 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 　下列语句不是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x∈R，2x＋1是奇数 【答案】　C 【反思感悟】　全称量词命题或存在量词命题的判断 【注意】　全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 1．下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 【答案】　C 二、全称量词命题和存在量词命题的判断 　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|>0； (4)有一个角α，使sin α＝. 【解】　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|>0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． 【反思感悟】　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 2．判断下列命题的真假： (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 【解】　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题． (2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0， 所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 三、全称量词命题和存在量词命题的否定 　(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 【答案】　C 【解析】　因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C. (2)对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围． 【解】　令y＝x2＋4x－1，x∈R. 则y＝(x＋2)2－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 3．(1)若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 【答案】　B 【解析】　命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ<0，即m>1.故选B. (2)若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1 【答案】　D 【解析】　需Δ≥0，即a≤1，故选D. 1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 【答案】　C 2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 【答案】　C 3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 【答案】　C 4．下列命题，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 (填序号)． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 【答案】　①②③　④ 5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】　a≤3 1．知识归纳： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念． (2)含量词的命题的真假判断及其否定． (3)通过含量词的命题的真假求参数． 2．方法归纳：转化思想 3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”． 命题与其否定的真假性完全相反． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$