第1章 1.4 充分条件与必要条件（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

1．4　充分条件与必要条件 1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．充分条件与必要条件 命题 真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出 关系 p⇒q pq 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 【思考1】 (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 【解析】　提示：(1)相同，都是p⇒q. (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 【答案】　等价 2．充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的 条件，简称 条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q 条件． (2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【答案】　充分必要　充要　互为充要 【思考2】 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 【解析】　提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) 2．q不是p的必要条件时，“p q”成立．(　　) 3．若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.× 一、充分、必要、充要条件的判断 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 【解】　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 【反思感悟】　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 1．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的 条件． 【答案】　充要 二、充分条件、必要条件、充要条件的应用 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】　{m|m≥9} 【解析】　因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 所以或 解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 　本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围． 【解】　p：－2≤x≤10， q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 【反思感悟】　利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系． (3)利用集合间的关系建立不等式． (4)求解参数范围． 2．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】　设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－≤－2，即m≥8. 所以m的范围为{m|m≥8}． 三、充要条件的探求与证明 　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【证明】　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. ②充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两个相异实根，且两根异号，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【反思感悟】　从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 3．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 【证明】　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， x＝0时y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 1．“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”．故选A. 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A. 3．设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的(　　) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 【解析】　p⇒q，但q p. 4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是 ． 【答案】　a<0 【解析】　由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0. 5．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解】　由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以即－≤a＜0， 所以a的取值范围是. 1．知识归纳： (1)充要条件概念的理解． (2)充要条件的证明． (3)根据条件求参数范围． 2．方法归纳：等价转化为集合间的关系． 3．常见误区：条件和结论辨别不清． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$