第1章 1.3 第2课时 补集（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　补集 1．了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点) 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 【思考】　全集一定是实数集R吗？ 【解析】　提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 1．全集一定含有任何元素．(　　) 2．集合∁RA＝∁QA.(　　) 3．一个集合的补集一定含有元素．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.× 一、全集与补集 　(1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝ ． (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝ ． 【答案】　(1){2，3，5，7}　(2){x|x<－3或x＝5} 【解析】　(1)法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， 所以B＝{2，3，5，7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示， 由图可知B＝{2，3，5，7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 【反思感悟】　求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2，4}，则∁AB等于(　　) A．{2，4} B．{0，1，3，5} C．{1，3，5，6} D．{x∈N*|x≤6} (2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x＜6}，则∁UA＝ ． 【答案】　(1)C　(2){x|0<x<2或x≥6} 【解析】　(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，所以∁AB＝{1，3，5，6}．故选C. (2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0<x<2或x≥6}． 二、集合交、并、补集的综合运算 　设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 【解】　把集合A，B在数轴上表示如下： 由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 【反思感悟】　解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 2．已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2，4，5，8}，B＝{1，3，5，8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)． 【解】　∵A∪B＝{1，2，3，4，5，8}， U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， ∴∁U(A∪B)＝{6，7，9}． ∵A∩B＝{5，8}， ∴∁U(A∩B)＝{1，2，3，4，6，7，9}． ∵∁UA＝{1，3，6，7，9}，∁UB＝{2，4，6，7，9}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{6，7，9}， (∁UA)∪(∁UB)＝{1，2，3，4，6，7，9}． 三、与补集有关的参数值的求解 　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【解】　法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. (变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 【解】　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4. 【反思感悟】　由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合所学知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<－1，或x>0}．若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围． 【解】　∵B＝{x|x<－1或x>0}， ∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}， ∴要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)， 可得a≤－1. 即实数a的取值范围是{a|a≤－1}． 1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA＝(　　) A．{1，2}　　　　　　 B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅ 【答案】　B 【解析】　∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}， ∴∁UA＝{3，4，5}． 2．设合集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x＜5}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{x|1≤x＜2} B．{x|x<2} C．{x|x≥5} D．{x|1＜x＜2} 【答案】　D 【解析】　∁UB＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁UB)＝{x|1<x<2}． 3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1，0，1} D．{0，1} 【解析】　因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1)，则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1)＝{－2，－1}． 【答案】　A 4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝ ． 【答案】　2 【解析】　∵A＝{x|1≤x<a}，∁UA＝{x|2≤x≤5}，∴A∪(∁UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(∁UA)＝∅，因此a＝2. 5．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x＜－1}，B＝{x|－1≤x＜1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)． 【解】　将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则∁UA＝{x|－1≤x≤3}； ∁UB＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}； 法一　(∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}． 法二　∵A∪B＝{x|－5≤x<1}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}． 1．知识归纳： (1)全集和补集的概念及运算． (2)并、交、补集的混合运算． (3)与补集有关的参数的求解． 2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合． 3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$