第1章 1.1 第2课时 集合的表示（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　集合的表示 1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点) 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【思考】 (1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ 【答案】　提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5. (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ 【答案】　{x|x<5，x∈R}． 1．{1}＝1.(　　) 2．{(1，2)}＝{x＝1，y＝2}. (　　) 3．{x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(　　) 4．{x|x2＝1}＝{－1，1}．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√　4.√ 一、列举法表示集合 　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数构成的集合． 【解】　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}． (2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2， 所以方程的解组成的集合为{0，2}． (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1， 即交点是(0，1)， 故交点组成的集合是{(0，1)}． (4)正整数有1，2，3，…， 所求集合为{1，2，3，…}． 【反思感悟】　用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点还是其他元素； (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 　用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合N. 【解】　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1，0，1，2， 故A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，∴M＝{2，3}． (3)解得∴B＝{(3，2)}． (4)15的正约数有1，3，5，15，故N＝{1，3，5，15}． 二、描述法表示集合 　用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【解】　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，x∈N}． (3)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0且y>0}． 【反思感悟】　利用描述法表示集合应关注四点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 三、集合表示法的综合应用 　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． 【解】　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}． (变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合． 【解】　由题意可知，方程是kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根． ①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意． ②当k≠0时，要使方程是kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1. 综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}． 【反思感悟】 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想． 1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　) A．{(－2，2)} B．{－2，2} C．{－2} D．{2} 【答案】　B 2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} 【答案】　C 3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是(　　) A．6∈A　　　　　 B．0∈A C．3∉A D．3.5∉A 【答案】　D 4．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是 (　　) A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2，1)} D．{(1，－2)} 【答案】　D 【解析】　由得 ∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}． 5．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A. 【解】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0， ∴a＝－4， ∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}． 1．知识归纳： (1)描述法表示集合的理解． (2)用列举法和描述法表示集合． (3)两种表示法的综合应用． 2．常见误区：点集与数集的区别． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$