第5章 三角函数 章末复习课（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 章 末 复 习 课 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 体系构建 核心归纳 Part 02 本章要点 Part 03 数学A 必修第一册 体系构建 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 核心归纳 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 本章要点 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1；eq \f(sin α,cos α)＝tan α. 2．诱导公式 (1)记忆口诀：奇变偶不变．符号看象限． (2)功能：将k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用． 3．三角函数的性质(表中k∈Z) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R 单调性 增区间：[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ] 减区间：[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ] 增区间：[－π＋2kπ，2kπ] 减区间：[2kπ，π＋2kπ] 增区间：(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ) 周期性 2π 2π π 图象的 对称轴 x＝eq \f(π,2)＋kπ x＝kπ 无 图象的 对称中心 (kπ，0) (eq \f(π,2)＋kπ，0) (eq \f(1,2)kπ，0) 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β) 5．倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α) 6．辅助角公式 asin x＋bcos x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ为辅助角且tan φ＝eq \f(b,a))(或asin x＋bcos x＝eq \r(a2＋b2)cos(x－φ)，tan φ＝eq \f(a,b)) 要点一　同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq \f(sin α,cos α)＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 2．诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 　(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝____________________． (2)已知f(α)＝eq \f(sin2（π－α）·cos（2π－α）·tan（－π＋α）,sin（－π＋α）·tan（－α＋3π）) ①化简：f(α)； ②若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α<eq \f(π,2)，求cos α－sin α的值； ③若α＝－eq \f(47π,4)，求f(α)的值． (1)【答案】　eq \f(1,3) 【解析】　由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 则eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(－2＋1,－2－1)＝eq \f(1,3). (2)【解】　①f(α)＝eq \f(sin2α·cos α·tan α,（－sin α）（－tan α）)＝sin α·cos α. ②由f(α)＝sin α·cos α＝eq \f(1,8)可知， (cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)， 又∵eq \f(π,4)<α<eq \f(π,2)， ∴cos α<sin α， 即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－eq \f(\r(3),2). ③∵α＝－eq \f(47,4)π＝－6×2π＋eq \f(π,4)， ∴f(－eq \f(47,4)π)＝cos(－eq \f(47,4)π)·sin(－eq \f(47,4)π) ＝cos(－6×2π＋eq \f(π,4))·sin(－6×2π＋eq \f(π,4)) ＝coseq \f(π,4)·sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2). 1．(1)已知tan α＝eq \f(1,2)，α∈(0，eq \f(π,2))，则sin α－cos α＝____________________． (2)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝eq \f(1,5). ①求tan α的值； ②把eq \f(1,cos2α－sin2α)用tan α表示出来，并求其值． (1)【答案】　－eq \f(\r(5),5) 【解析】　因为tan α＝eq \f(1,2)＝eq \f(sin α,cos α)， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sin α,cos α)＝\f(1,2)，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(\r(5),5)，,cos α＝\f(2\r(5),5)，)) 所以sin α－cos α＝eq \f(\r(5),5)－eq \f(2\r(5),5)＝－eq \f(\r(5),5). (2)【解】　①由sin α＋cos α＝eq \f(1,5)， 得1＋2sin αcos α＝eq \f(1,25)， 所以sin αcos α＝－eq \f(12,25)， 因为α是三角形的内角，所以sin α>0， cos α<0， ∴sin α－cos α＝eq \r(（sin α－cos α）2) ＝eq \r(（sin α＋cos α）2－4sin αcos α) ＝eq \r(（\f(1,5)）2＋\f(48,25))＝eq \f(7,5). ∴sin α＝eq \f(4,5)，cos α＝－eq \f(3,5)， tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(4,3). ②原式＝eq \f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq \f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq \f(\f(16,9)＋1,1－\f(16,9))＝－eq \f(25,7) 要点二　三角函数的图象变换与应用 1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换． 3．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． 　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<eq \f(π,2))的图象上的一个最低点为M(eq \f(2π,3)，－2)，周期为π. (1)求f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式； (3)当x∈[0，eq \f(π,12)]时，求函数f(x)的最大值和最小值． 【解】　(1)∵T＝eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2， 又f(x)min＝－2. ∴A＝2，由f(x)的最低点为M， ∴sin(eq \f(4π,3)＋φ)＝－1. ∵0<φ<eq \f(π,2)，∴eq \f(4π,3)<eq \f(4π,3)＋φ<eq \f(11π,6). ∴eq \f(4π,3)＋φ＝eq \f(3π,2)，∴φ＝eq \f(π,6). ∴f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))． (2)y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))eq \o(―――――――――――――――→,\s\up17(横坐标伸长到原来),\s\do15(的2倍（纵坐标不变）))y＝2sin(eq \f(1,2)×2x＋eq \f(π,6))＝2sin(x＋eq \f(π,6))eq \o(――――――――――→,\s\up17(沿x轴向右),\s\do15(平移\f(π,6)个单位长度))y＝2sin[(x－eq \f(π,6))＋eq \f(π,6)]＝2sin x， ∴g(x)＝2sin x. (3)∵0≤x≤eq \f(π,12)，∴eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,3)， ∴当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，即x＝eq \f(π,12)时， f(x)max＝2sineq \f(π,3)＝eq \r(3)， 当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0时， f(x)min＝2sineq \f(π,6)＝1. 2．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0<θ<π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　) A．[0，eq \f(π,2)] B．[eq \f(π,2)，π] C．(eq \f(π,4)，eq \f(π,2)) D．[eq \f(3π,4)，π] 【答案】　B 【解析】　因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0<θ<π)是偶函数， 所以 θ＝eq \f(π,2)，f(x)＝3sin(2x＋eq \f(π,2))＝－3cos 2x， 令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为[kπ－eq \f(π,2)，kπ]，k∈Z， 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[eq \f(π,2)，π]． 要点三　三角恒等变换与三角函数的综合问题 1．三角恒等变换与三角函数的综合应用问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． 2．通过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质，培养逻辑推理和数学运算素养． 　已知函数f(x)＝cos xsin (x＋eq \f(π,3))－eq \r(3)cos2x＋eq \f(\r(3),4)，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)＝cos x(eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cos x)－eq \r(3)cos2x＋eq \f(\r(3),4) ＝eq \f(1,2)sin x·cos x－eq \f(\r(3),2)cos2x＋eq \f(\r(3),4) ＝eq \f(1,4)sin 2x－eq \f(\r(3),4)(1＋cos 2x)＋eq \f(\r(3),4) ＝eq \f(1,4)sin 2x－eq \f(\r(3),4)cos 2x＝eq \f(1,2)sin(2x－eq \f(π,3))． ∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π. (2)∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)， ∴－eq \f(5π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)， ∴－1≤sin(2x－eq \f(π,3))≤eq \f(1,2)， ∴－eq \f(1,2)≤f(x)≤eq \f(1,4)， ∴函数f(x)在闭区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上的最大值为eq \f(1,4)，最小值为－eq \f(1,2). 3．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求f(x)的单调递增区间． 【解】　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝eq \r(2)sin(2ωx＋eq \f(π,4))． 又f(x)的最小正周期为π，ω>0， ∴T＝eq \f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))， 由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得 kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(π,8)](k∈Z)． $$