第5章 5.7 三角函数的应用（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 5．7　三角函数的应用 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 2．解三角函数应用题的基本步骤 (1)审清题意． (2)搜集整理数据，建立数学模型． (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论． 1．函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin x＋\f(1,2)))的周期为π.(　　) 2．一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.(　　) 3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋eq \f(π,3))，则当t＝eq \f(1,200)s时，电流强度I为eq \f(5,2)A.(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√ 一、三角函数在物理中的应用 　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ) (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<eq \f(π,2))在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段eq \f(1,150)的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 【解】　(1)由题图可知A＝300， 设t1＝－eq \f(1,900)，t2＝eq \f(1,180)， 则周期T＝2(t2－t1)＝2(eq \f(1,180)＋eq \f(1,900))＝eq \f(1,75). ∴ω＝eq \f(2π,T)＝150π. 又当t＝eq \f(1,180)时，I＝0， 即sin(150π·eq \f(1,180)＋φ)＝0， 而|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6). 故所求的解析式为I＝300sin(150πt＋eq \f(π,6))． (2)依题意知，周期T≤eq \f(1,150)， 即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,150)(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. 【反思感悟】　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq \f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq \f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sin(100πt＋eq \f(π,6))来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 【解】　(1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)(V)，即开始时的电压为110eq \r(3)V. (2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220eq \r(3)V，当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300)s时第一次取得最大值． 二、三角函数模型的实际应用 　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为____________________. x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 【答案】　y＝－4coseq \f(5π,2)t 【解析】　设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5π,2)，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－eq \f(π,2)，则y＝4sin(eq \f(5π,2)t－eq \f(π,2))，即y＝－4coseq \f(5π,2)t.　 【反思感悟】　解三角函数应用问题的基本步骤 【提醒】　关注实际意义求准定义域． 2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数．其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 用y＝Asin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式. 【解】　函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6). 又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时， ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3. ∴所求函数的解析式为y＝3sineq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)． 1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin(2t＋eq \f(π,6))，s2＝10cos 2t确定，则当t＝eq \f(2π,3) s时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定 【答案】　C 【解析】　当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝5sin(eq \f(4π,3)＋eq \f(π,6))＝5sineq \f(3π,2)＝－5， 当t＝eq \f(2π,3)时，s2＝10coseq \f(4π,3)＝10×(－eq \f(1,2))＝－5， 故s1＝s2. 2．已知简谐振动的振幅是eq \f(3,2)，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0，eq \f(3,4))，则该简谐振动的频率和初相是(　　) A.eq \f(1,6)，eq \f(π,6) B．eq \f(1,8)，eq \f(π,6) C.eq \f(1,8)，eq \f(π,3) D．eq \f(1,6)，eq \f(π,3) 【答案】　B 【解析】　由题意可知，A＝eq \f(3,2)，32＋(eq \f(T,2))2＝52， 则T＝8，ω＝eq \f(2π,8)＝eq \f(π,4)，∴y＝eq \f(3,2)sin(eq \f(π,4)x＋φ)． 由图象过点(0，eq \f(3,4))得eq \f(3,2)sin φ＝eq \f(3,4)， ∴sin φ＝eq \f(1,2)，∵|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)， 因此频率是eq \f(1,8)，初相为eq \f(π,6)，故选B. 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 【答案】　C 【解析】　由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(t,2)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z. 当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 4．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋eq \f(π,4))＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为____________________． 【答案】　eq \f(1,120) 【解析】　A＋60＝80得A＝20，且150πω＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为eq \f(1,120). 5．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5eq \r(2)sin(100πt－eq \f(π,2))，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动____________________次． 【答案】　50 【解析】　据I＝5eq \r(2)sin(100πt－eq \f(π,2))知ω＝100π rad/s， 该电流的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100π)＝0.02 s， 则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为 n＝2·eq \f(t,T)＝2×eq \f(0.5,0.02)s＝50(次)． 1．知识清单： (1)三角函数在物理中的应用． (2)三角函数模型的实际应用． 2．方法归纳：数学建模． $$