第5章 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 5．6　函数y＝Asin(ωx＋φ) 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点) 2．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点) 3．求函数解析式时φ值的确定．(易错点) A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．将函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到函数y＝cos x的图象．(　　) 2．将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．(　　) 3．把函数y＝cos x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.× 一、三角函数图象之间的变换 　(1)将函数y＝eq \r(2)cos(2x＋eq \f(π,3))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为____________________． (2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))＋1的图象？ 【解】　(1)y＝－eq \r(2)cos 2x－3　y＝eq \r(2)cos(2x＋eq \f(π,3))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得y＝eq \r(2)cos[2(x＋eq \f(π,3))＋eq \f(π,3)] ＝eq \r(2)cos(2x＋π)＝－eq \r(2)cos 2x， 再向下平移3个单位长度得 y＝－eq \r(2)cos 2x－3的图象． (2)法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位，得y＝2sin 2(x＋eq \f(π,8))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))＋1的图象． 法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移eq \f(π,4)个单位，得y＝sin(x＋eq \f(π,4))的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得y＝sin(2x＋eq \f(π,4))的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))＋1的图象． 【反思感悟】　由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤 1．(1)为了得到函数y＝sin(3x－eq \f(π,6))的图象．需将函数y＝sin(x－eq \f(π,6))的图象(　　) A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的eq \f(1,3)，横坐标不变 (2)将函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin(2x＋eq \f(π,4)) B．y＝2sin(2x＋eq \f(π,3)) C．y＝2sin(2x－eq \f(π,4)) D．y＝2sin(2x－eq \f(π,3)) (1)【答案】　C　(2)D 【解析】　(1)只需将函数y＝sin(x－eq \f(π,6))的图象横坐标变为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变，便得到函数y＝sin(3x－eq \f(π,6))的图象，故选C.(2)函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))的周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，向右平移eq \f(1,4)个周期，即向右平移eq \f(π,4)后，得到图象对应的函数为y＝2sin[2(x－eq \f(π,4))＋eq \f(π,6)]＝2sin(2x－eq \f(π,3))，故选D. 二、由图象求三角函数的解析式 　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的图象的一部分，求此函数的解析式． 【解】　逐一定参法 由图象知A＝3， T＝eq \f(5π,6)－(－eq \f(π,6))＝π， ∴ω＝eq \f(2π,T)＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点(－eq \f(π,6)，0)在函数图象上， ∴0＝3sin(－eq \f(π,6)×2＋φ)． ∴－eq \f(π,6)×2＋φ＝kπ，k∈Z， 得φ＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3). ∴y＝3sin(2x＋eq \f(π,3))． 【反思感悟】　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－eq \f(φ,ω)，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<eq \f(π,2))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为M(eq \f(2π,3)，－2)，求f(x)的解析式． 【解】　由最低点M(eq \f(2π,3)，－2)，得A＝2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为eq \f(π,2)， 故eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2. 由点M(eq \f(2π,3)，－2)在图象上得 2sin(2×eq \f(2π,3)＋φ)＝－2， 即sin(eq \f(4π,3)＋φ)＝－1， 故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)． 又φ∈(0，eq \f(π,2))， ∴φ＝eq \f(π,6).故f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))． 三、y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用 　(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)，若f(eq \f(π,6))＝f(eq \f(π,3))，且f(x)在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))上有最小值．无最大值，则ω＝(　　) A.eq \f(2,3) B．eq \f(14,3) C.eq \f(26,3) D．eq \f(38,3) (2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M(eq \f(3π,4)，0)对称，且在区间[0，eq \f(π,2)]上是单调函数，求φ和ω的值． (1)【答案】　B 【解析】　因为f(eq \f(π,6))＝f(eq \f(π,3))， 所以直线x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq \f(π,4)是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))上有最小值，无最大值． 所以当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最小值． 所以eq \f(π,4)ω＋eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝8k－eq \f(10,3)，(k∈Z)． 又因为T＝eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，所以ω≤12，又因为ω>0， 所以k＝1，即ω＝8－eq \f(10,3)＝eq \f(14,3). (2)【解】　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ<π，∴解得φ＝eq \f(π,2). 由f(x)的图象关于点M对称，可知 sin(eq \f(3π,4)ω＋eq \f(π,2))＝0，即eq \f(3π,4)ω＋eq \f(π,2)＝kπ， 解得ω＝eq \f(4k,3)－eq \f(2,3)，k∈Z. 又f(x)在[0，eq \f(π,2)]上是单调函数， 所以T≥π，即eq \f(2π,ω)≥π. ∴ω≤2，又ω>0， ∴k＝1时，ω＝eq \f(2,3)；k＝2时，ω＝2. 故φ＝eq \f(π,2)，ω＝2或eq \f(2,3). 【反思感悟】　研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间． (2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质． 3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则下列为f(x)的单调递减区间是(　　) A．[－eq \f(5π,3)，－eq \f(7π,6)] B．[－eq \f(5π,6)，－eq \f(π,3)] C．[eq \f(5π,6)，π] D．[π，eq \f(4,3)π] 【答案】　B 【解析】　由eq \f(1,2)T＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，得T＝π＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝2. 当x＝eq \f(π,6)时，f(x)＝1，可得sin(2×eq \f(π,6)＋φ)＝1.因为|φ|<eq \f(π,2)， 所以φ＝eq \f(π,6)，故f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,6))．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(2π,3)]，k∈Z，结合选项可知[－eq \f(5π,6)，－eq \f(π,3)]为f(x)的单调递减区间，选B. 1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移eq \f(1,2)个单位长度 D．向右平移eq \f(1,2)个单位长度 【答案】　C 【解析】　y＝cos(2x＋1)＝cos 2(x＋eq \f(1,2))，因此由y＝cos 2x向左平移eq \f(1,2)个单位，故选C. 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的A与最小正周期T分别是(　　) A．A＝3，T＝eq \f(5π,6) B．A＝3，T＝eq \f(5π,3) C．A＝eq \f(3,2)，T＝eq \f(5π,6) D．A＝eq \f(3,2)，T＝eq \f(5π,3) 【答案】　D 【解析】　由题图可知A＝eq \f(1,2)(3－0)＝eq \f(3,2)，设周期为T，则eq \f(1,2)T＝eq \f(π,2)－(－eq \f(π,3))＝eq \f(5π,6)，得T＝eq \f(5π,3). 3．在函数y＝2sin(4x＋eq \f(2π,3))的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是____________________． 【答案】　(eq \f(π,12)，0) 【解析】　由4x＋eq \f(2π,3)＝kπ，k∈Z，得x＝－eq \f(π,6)＋eq \f(1,4)kπ，k∈Z.所以当k＝1时，y＝eq \f(π,4)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,12)，即(eq \f(π,12)，0)离原点最近． 4．要得到函数y＝sin(－x＋eq \f(π,3))的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向____________________个单位． 【答案】　右平移eq \f(π,3) 【解析】　y＝sin(－x)→y＝sin(－x＋eq \f(π,3))＝ sin[－(x－eq \f(π,3))]，可把y＝sin(－x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位． 5．已知方程2sin(2x＋eq \f(π,3))－1＝a，x∈[－eq \f(π,6)，eq \f(13π,12)]有两解，求a的取值范围． 【解】　由题意2sin(2x＋eq \f(π,3))＝a＋1. 令y＝2sin(2x＋eq \f(π,3))，y＝a＋1， 作出函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,3))在[－eq \f(π,6)，eq \f(13π,12)]上的图象如图． 显然要使y＝a＋1与图象有两个交点， 只须－2<a＋1<0或a＋1＝2. 即－3<a<－1或a＝1. ∴a的取值范围是{a|－3<a<－1或a＝1}． 1．知识归纳： (1)图象的变换． (2)由图象求函数的解析式． (3)三角函数的性质的综合问题． 2．方法归纳：特殊点法，数形结合法． 3．常见误区：求φ值时递增区间上的零点和递减区间上零点的区别． $$