第5章 5.5 5.5.2 简单的三角恒等变换（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 5．4　三角函数的图象与性质 5．5.2　简单的三角恒等变换 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点) 2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点) 半角公式 (1)sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cos α,2))， (2)cos eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cos α,2))， (3)tan eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))， (4)tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))＝eq \f(sin \f(α,2)·2cos \f(α,2),cos \f(α,2)·2cos \f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cos α)， tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))＝eq \f(sin \f(α,2)·2sin \f(α,2),cos \f(α,2)·2sin \f(α,2))＝eq \f(1－cos α,sin α). 1．cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2)).(　　) 2．对任意α∈R，sin eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)cos α都不成立．(　　) 3．若cos α＝eq \f(1,3)，且α∈(0，π)，则cos eq \f(α,2)＝eq \f(\r(6),3).(　　) 4．对任意α都有sin α＋eq \r(3)cos α＝2sin (α＋eq \f(π,3))．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√　4.√ 一、化简求值问题 　(1)设5π<θ<6π，cos eq \f(θ,2)＝a，则sin eq \f(θ,4)等于(　　) A.eq \f(\r(1＋a),2) B．eq \f(\r(1－a),2) C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2)) (2)已知π<α<eq \f(3π,2)，化简： eq \f(1＋sin α,\r(1＋cos α)－\r(1－cos α))＋eq \f(1－sin α,\r(1＋cos α)＋\r(1－cos α)). (1)【答案】　D 【解析】　∵5π<θ<6π，∴eq \f(θ,2)∈(eq \f(5π,2)，3π)， eq \f(θ,4)∈(eq \f(5π,4)，eq \f(3π,2))． 又cos eq \f(θ,2)＝a， ∴sin eq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cos \f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)). (2)【解】　原式＝eq \f(（sin \f(α,2)＋cos\f(α,2)）2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＋eq \f(（sin \f(α,2)－cos\f(α,2)）2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))) ∵π<α<eq \f(3π,2)，∴eq \f(π,2)<eq \f(α,2)<eq \f(3π,4)， ∴cos eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)>0， ∴原式＝eq \f(（sin \f(α,2)＋cos \f(α,2)）2,－\r(2)（sin \f(α,2)＋cos \f(α,2)）)＋eq \f(（sin \f(α,2)－cos \f(α,2)）2,\r(2)（sin \f(α,2)－cos \f(α,2)）) ＝－eq \f(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin \f(α,2)－cos \f(α,2),\r(2)) ＝－eq \r(2)cos eq \f(α,2). 【反思感悟】　 1．化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． 2．利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号做准备． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α)，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,2)，cos2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2)计算． (4)下结论：结合(2)求值． 1．已知sin θ＝－eq \f(3,5)，3π<θ<eq \f(7,2)π，则tan eq \f(θ,2)的值为(　　) A．3 B．－3 C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3) 【答案】　B 【解析】　∵3π<θ<eq \f(7π,2)，sin θ＝－eq \f(3,5)， ∴cos θ＝－eq \f(4,5)，tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin θ,1＋cos θ)＝－3. 二、三角恒等式的证明 　求证：eq \f(1＋sin θ－cos θ,1＋sin θ＋cos θ)＋eq \f(1＋sin θ＋cos θ,1＋sin θ－cos θ)＝eq \f(2,sin θ). 【证明】　左边＝eq \f(2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos \f(θ,2),2cos2\f(θ,2)＋2sin \f(θ,2)cos\f(θ,2))＋eq \f(2cos2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos \f(θ,2))＝eq \f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＋eq \f(cos\f(θ,2),sin \f(θ,2)) ＝eq \f(1,cos\f(θ,2)sin\f(θ,2))＝eq \f(2,sin θ)＝右边． 所以原式成立． 【反思感悟】　探究证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 2．求证：eq \f(1,cos 2θ)－tan θ·tan 2θ＝1. 【证明】　eq \f(1,cos 2θ)－tan θ·tan 2θ＝eq \f(1,cos 2θ)－eq \f(sin θsin 2θ,cos θcos 2θ) ＝eq \f(cos θ－2sin2θcos θ,cos θcos 2θ)＝eq \f(cos θ（1－2sin2θ）,cos θcos 2θ)＝eq \f(1－2sin2θ,cos 2θ) ＝eq \f(cos 2θ,cos 2θ)＝1. 三、三角恒等变换的综合问题 　已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋eq \f(π,4))(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间[0，eq \f(π,2)]上的单调性． 【解】　(1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋eq \f(π,4)) ＝2eq \r(2)sin ωx·cos ωx＋2eq \r(2)cos2ωx ＝eq \r(2)(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋eq \r(2) ＝2sin(2ωx＋eq \f(π,4))＋eq \r(2). 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有eq \f(2π,2ω)＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,4))＋eq \r(2). 若0≤x≤eq \f(π,2)，则eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4). 当eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)， 即0≤x≤eq \f(π,8)，f(x)单调递增； 当eq \f(π,2)<2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，即eq \f(π,8)<x≤eq \f(π,2)时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，eq \f(π,8)]上单调递增，在区间(eq \f(π,8)，eq \f(π,2)]上单调递减． 【反思感悟】　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质． 3．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x－eq \f(π,6))＋2sin2(x－eq \f(π,12))(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 【解】　(1)∵f(x)＝eq \r(3)sin(2x－eq \f(π,6))＋2sin2(x－eq \f(π,12)) ＝eq \r(3)sin[2(x－eq \f(π,12))]＋1－cos[2(x－eq \f(π,12))] ＝2eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin[2（x－\f(π,12)）]－\f(1,2)cos[2（x－\f(π,12)）]))＋1 ＝2sin[2(x－eq \f(π,12))－eq \f(π,6)]＋1＝2sin(2x－eq \f(π,3))＋1， ∴T＝eq \f(2π,2)＝π. (2)当f(x)取得最大值时，sin(2x－eq \f(π,3))＝1. 有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)， ∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))). 1．若cos 2α＝－eq \f(4,5)，且α∈[eq \f(π,2)，π]，则sin α＝(　　) A.eq \f(3\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(\r(10),10) 【答案】　A 【解析】　因为α∈[eq \f(π,2)，π]，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝eq \r(\f(1－cos 2α,2))＝eq \f(3\r(10),10). 2．下列各式与tan α相等的是(　　) A.eq \r(\f(1－cos 2α,1＋cos 2α)) B．eq \f(sin α,1＋cos α) C.eq \f(sin α,1－cos 2α) D．eq \f(1－cos 2α,sin 2α) 【答案】　D 【解析】　eq \f(1－cos 2α,sin 2α)＝eq \f(2sin2α,2sin αcos α)＝eq \f(sin α,cos α)＝tan α. 3．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　) A.eq \f(π,4) B．eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D．π 【答案】　C 【解析】　f(x)＝cos x－sin x＝eq \r(2)cos(x＋eq \f(π,4))．当x∈[0，a]，时x＋eq \f(π,4)∈[eq \f(π,4)，a＋eq \f(π,4)]，所以结合题意可知，a＋eq \f(π,4)≤π，即a≤eq \f(3π,4)，故所求a的最大值是eq \f(3π,4).故选C. 【答案】　eq \r(2)　1 【解析】　2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))＋1，∴A＝eq \r(2)，b＝1. 4．函数f(x)＝sin2 x的最小正周期为____________________． 【答案】　π 【解析】　因为f(x)＝sin2x＝eq \f(1－cos 2x,2)， 所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π. 5．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝____________________，b＝____________________． 1．知识归纳： (1)半角公式． (2)辅助角公式． (3)三角恒等变换的综合问题． 2．方法归纳：换元思想，化归思想． 3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域． $$