第5章 5.5 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 5．5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 2sin αcos α cos2α－sin2α 数学A 必修第一册 (sin α±cos α)2 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点) 2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点) 3．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点) 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝___________________ C2α cos 2α＝________________ T2α tan 2α＝_______________ eq \f(2tan α,1－tan2α) eq \f(sin 2α,2sin α) 2.余弦的二倍角公式的变形 3．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝eq \f(1,2)sin 2α，cos α＝_____________． (2)1±sin 2α＝_____________________． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　) 2．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　) 3．对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.× 一、给角求值 　求下列各式的值： (1)2cos2eq \f(25π,12)－1； (2)eq \f(1－tan2\f(π,8),tan\f(π,8))； (3)cos 20°cos 40°cos 80°. 【解】　(1)原式＝cos eq \f(25π,6)＝cos(4π＋eq \f(π,6))＝coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2). (2)原式＝eq \f(2（1－tan2\f(π,8)）,2tan\f(π,8))＝2×eq \f(1,\f(2tan\f(π,8),1－tan2\f(π,8)))＝2×eq \f(1,tan\f(π,4))＝2. (3)原式＝eq \f(2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°,2sin 20°)＝eq \f(2sin 40°cos 40°cos 80°,4sin 20°) ＝eq \f(2sin 80°cos 80°,8sin 20°)＝eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝eq \f(sin 20°,8sin 20°)＝eq \f(1,8). 【反思感悟】　对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 1．求下列各式的值： (1)sineq \f(π,6)coseq \f(π,6)； (2)cos2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)； (3)eq \f(2tan 15°,1－tan215°). 【解】　(1)原式＝eq \f(1,2)×2sineq \f(π,6)coseq \f(π,6) ＝eq \f(1,2)sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),4). (2)原式＝coseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). (3)原式＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3). 二、给值求值、求角问题 　(1)已知cos(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α<eq \f(3π,2)，求cos(2α＋eq \f(π,4))的值． (2)已知α∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，且sin 2α＝sin(α－eq \f(π,4))，求α. (1)【解】　∵eq \f(π,2)≤α<eq \f(3π,2)， ∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)<eq \f(7π,4). cos(α＋eq \f(π,4))>0，∴eq \f(3π,2)<α＋eq \f(π,4)<eq \f(7π,4). ∴sin(α＋eq \f(π,4))＝－eq \r(1－cos2（α＋\f(π,4)）) ＝－eq \r(1－（\f(3,5)）2)＝－eq \f(4,5). ∴cos 2α＝sin(2α＋eq \f(π,2))＝sin 2(α＋eq \f(π,4))＝2sin(α＋eq \f(π,4))cos(α＋eq \f(π,4)) ＝2×(－eq \f(4,5))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)， sin 2α＝－cos(2α＋eq \f(π,2))＝1－2cos2(α＋eq \f(π,4))＝1－2×(eq \f(3,5))2＝eq \f(7,25). ∴cos(2α＋eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)cos 2α－eq \f(\r(2),2)sin 2α＝eq \f(\r(2),2)×(－eq \f(24,25)－eq \f(7,25)) ＝－eq \f(31\r(2),50). (2)∵sin 2α＝－cos(2α＋eq \f(π,2)) ＝－[2cos2(α＋eq \f(π,4))－1] ＝1－2cos2(α＋eq \f(π,4))， sin(α－eq \f(π,4))＝－sin(eq \f(π,4)－α) ＝－cos[eq \f(π,2)－(eq \f(π,4)－α)] ＝－cos(eq \f(π,4)＋α)， ∴原式可化为1－2cos2(α＋eq \f(π,4))＝－cos(α＋eq \f(π,4))， 解得cos(α＋eq \f(π,4))＝1或cos(α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(1,2). ∵α∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))， ∴α＋eq \f(π,4)∈(－eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))， 故α＋eq \f(π,4)＝0或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(2π,3)， 即α＝－eq \f(π,4)或α＝eq \f(5π,12). 【反思感悟】　解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)当遇到f(eq \f(π,4)±x)这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． cos 2x＝sin(eq \f(π,2)－2x)＝2sin(eq \f(π,4)－x)cos(eq \f(π,4)－x)． 类似的变换还有： cos 2x＝sin(eq \f(π,2)＋2x)＝2sin(eq \f(π,4)＋x)cos(eq \f(π,4)＋x)． sin 2x＝cos(eq \f(π,2)－2x)＝2cos2(eq \f(π,4)－x)－1， sin 2x＝－cos(eq \f(π,2)＋2x)＝1－2cos2(eq \f(π,4)＋x)等． 2．已知sin(eq \f(π,4)－x)＝eq \f(5,13)，0<x<eq \f(π,4)，则eq \f(cos 2x,cos（\f(π,4)＋x）)的值为____________________． 【答案】　eq \f(24,13) 【解析】　∵0<x<eq \f(π,4)，sin(eq \f(π,4)－x)＝eq \f(5,13)， ∴eq \f(π,4)－x∈(0，eq \f(π,4))，cos(eq \f(π,4)－x)＝eq \f(12,13)， 利用诱导公式，sin(eq \f(π,4)＋x)＝cos[eq \f(π,2)－(eq \f(π,4)＋x)] ＝cos(eq \f(π,4)－x)＝eq \f(12,13). ∴原式＝eq \f(sin（\f(π,2)＋2x）,cos（\f(π,4)＋x）) ＝eq \f(2sin（\f(π,4)＋x）cos（\f(π,4)＋x）,cos（\f(π,4)＋x）) ＝2sin(eq \f(π,4)＋x)＝eq \f(24,13). 三、三角函数式的化简与证明 　求证：eq \f(3－4cos 2A＋cos 4A,3＋4cos 2A＋cos 4A)＝tan4 A. 【证明】　因为左边＝eq \f(3－4cos 2A＋2cos22A－1,3＋4cos 2A＋2cos22A－1) ＝(eq \f(1－cos 2A,1＋cos 2A))2＝(eq \f(2sin2A,2cos2A))2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边， 所以eq \f(3－4cos2A＋cos 4A,3＋4cos 2A＋cos 4A)＝tan4A. 【反思感悟】　探究三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化； (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分； (3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等； (5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2 α＋cos2α＝1等． 3．(1)化简：eq \f(sin 2x,2cos x)(1＋tan xtaneq \f(x,2))． (2)求证：sin3αsin 3α＋cos3 αcos 3α＝cos32α. (1)【解】　eq \f(sin 2x,2 cos x)(1＋tan xtaneq \f(x,2))＝eq \f(sin 2x,2cos x)(1＋eq \f(sin xsin \f(x,2),cos xcos \f(x,2))) ＝eq \f(2sin xcos x,2cos x)·eq \f(cos xcos \f(x,2)＋sin xsin \f(x,2),cos xcos \f(x,2))＝sin x·eq \f(cos \f(x,2),cos xcos \f(x,2))＝tan x. (2)【证明】　左边＝sin2αsin αsin 3α＋cos2αcos αcos 3α ＝eq \f(1－cos 2α,2)sin αsin 3α＋eq \f(1＋cos 2α,2) cos αcos 3α ＝eq \f(1,2)(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋eq \f(1,2)cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α) ＝eq \f(1,2)cos(α－3α)＋eq \f(1,2)cos 2αcos(3α＋α) ＝eq \f(1,2)cos 2α＋eq \f(1,2)cos 2αcos 4α ＝eq \f(1,2)cos 2α(1＋cos 4α) ＝eq \f(1,2)cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边． 1．已知sin α－cos α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝(　　) A．－eq \f(7,9)　　　　　　 B．－eq \f(2,9) C.eq \f(2,9) D．eq \f(7,9) 【答案】　A 【解析】　sin 2α＝2sin αcos α＝eq \f(（sin α－cos α）2－1,－1)＝－eq \f(7,9). 2.eq \r(1＋cos 36°)等于(　　) A.eq \r(2)sin 18° B．eq \r(2)cos 18° C．cos 18°－sin 18° D．sin 18°－cos 18° 【答案】　B 【解析】　eq \r(1＋cos 36°)＝eq \r(2cos218°) ＝eq \r(2)cos 18°. 3．已知sin α＝eq \f(2,3)，则cos(π－2α)＝(　　) A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(1,9) C.eq \f(1,9) D．eq \f(\r(5),3) 【答案】　B 【解析】　cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝－eq \f(1,9). 4．cos4eq \f(π,8)－sin4eq \f(π,8)的值为(　　) A．0 B．eq \f(\r(2),2) C．1 D．－eq \f(\r(2),2) 【答案】　B 【解析】　原式＝(cos2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8))(cos2eq \f(π,8)＋sin2eq \f(π,8))＝coseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).故选B. 5．已知eq \f(π,2)<α<π，cos α＝－eq \f(4,5). (1)求tan α的值； (2)求sin 2α＋cos 2α的值． 【解】　(1)因为cos α＝－eq \f(4,5)，eq \f(π,2)<α<π， 所以sin α＝eq \f(3,5)， 所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(3,4). (2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－eq \f(24,25)， cos 2α＝2cos2α－1＝eq \f(7,25)， 所以sin 2α＋cos 2α＝－eq \f(24,25)＋eq \f(7,25)＝－eq \f(17,25). 1．知识归纳： (1)二倍角公式的推导； (2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简和求值． 2．方法归纳：换元思想，整体思想． $$