第5章 5.5 5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 5．5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时　两角和与差的正切公式 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点、难点) 1．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝________________ α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 T(α－β) tan(α－β)＝_________________ α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝________________________． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________． tan αtan β＝___________________． (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝_____________________________． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝______________． tan αtan β＝__________________． 1－eq \f(tan α＋tan β,tan（α＋β）) eq \f(tan α－tan β,tan（α－β）)－1 1．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　) 2．对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)都成立．(　　) 3．tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　) 【答案】　1.√　2.×　3.√ 一、化简求值 　计算： (1)tan(－75°)； (2)eq \f(tan 74°＋tan 76°,1－tan 74°tan 76°)； (3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)． 【解】　(1)∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°) ＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq \f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq \r(3)， ∴tan(－75°)＝－tan 75°＝－2－eq \r(3). (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3). (3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 【反思感悟】　公式T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如taneq \f(π,4)＝1，tan eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，taneq \f(π,3)＝eq \r(3)等． 要特别注意tan(eq \f(π,4)＋α)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)，tan(eq \f(π,4)－α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α). 1．求值： (1)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)； (2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°. 【解】　(1)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 15°tan 45°) ＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3). (2)由tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得 tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°. 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. 二、给值求值(角) 　已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 【解】　∵tan β＝－eq \f(1,7)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)， ∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tan（α－β）＋tan β,1－tan（α－β）tan β)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1－\f(1,2)×（－\f(1,7)）)＝eq \f(1,3)， tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq \f(tan（α－β）＋tan α,1－tan（α－β）tan α)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1. ∵tan α＝eq \f(1,3)>0，tan β＝－eq \f(1,7)<0， ∴α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(eq \f(π,2)，π)， ∴α－β∈(－π，0)． 又∵tan(α－β)＝eq \f(1,2)>0， ∴α－β∈(－π，－eq \f(π,2))， 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－eq \f(3,4)π. 【反思感悟】　给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)． 2．(1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝____________________． (2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. (1)【答案】　2 【解析】　由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tan A＋tan B＝－\f(8,3)，,tan A·tan B＝－\f(1,3)，)) 由两角和的正切公式得 tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(－\f(8,3),1－（－\f(1,3)）)＝－2， 又A＋B＋C＝π， 所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2. (2)【解】　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1， ∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈(eq \f(π,2)，π)，∴α＋β∈(π，2π)． ∴α＋β＝eq \f(7π,4). 1．当tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　) A.eq \f(1,7)　　　　　　 B．－eq \f(1,7) C．1 D．－1 【答案】　A 【解析】　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tan（α－β）＋tan β,1－tan（α－β）tan β)＝eq \f(－2＋3,1－（－2）×3) ＝eq \f(1,7). 2．若tan(eq \f(π,3)－α)＝3，则tan α的值为____________________． 【答案】　eq \f(6－5\r(3),13) 【解析】　tan α＝tan[eq \f(π,3)－(eq \f(π,3)－α)] ＝eq \f(tan\f(π,3)－tan（\f(π,3)－α）,1＋tan\f(π,3)tan（\f(π,3)－α）) ＝eq \f(\r(3)－3,1＋\r(3)×3)＝eq \f(（\r(3)－3）（3\r(3)－1）,（3\r(3)）2－1) ＝eq \f(12－10\r(3),26)＝eq \f(6－5\r(3),13). 3．tan(α－eq \f(5π,4))＝eq \f(1,5)，则tan α＝____________________． 【答案】　eq \f(3,2) 【解析】　tan α＝tan[(α－eq \f(5π,4))＋eq \f(5π,4)]＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2). 4．求值：eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°)＝____________________． 【答案】　－eq \f(\r(3),3) 【解析】　原式＝eq \f(tan 45°－tan 75°,1＋tan 45°tan 75°) ＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－eq \f(\r(3),3). 5．已知cos α＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值． 【解】　因为α，β都是锐角，所以sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(2\r(5),5)， sin β＝eq \r(1－cos2β)＝eq \f(4,5)， tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝2， tan β＝eq \f(sin β,cos β)＝eq \f(4,3)， 所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－2. 1．知识归纳： (1)两角和与差的正切公式的推导． (2)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：整体思想． 3．常见误区：公式中加减符号易记错． $$