第5章 5.5 5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 5．5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 cos αcos β＋sin αsin β 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点) 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝___________________________ 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β为任意角 【思考】　 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？ 【答案】　公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正． 1．cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) 2．α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) 3．对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) 4．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.×　4.√ 一、给角求值 　计算下列各式的值． (1)cos eq \f(13π,12)； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)eq \f(1,2)cos 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°. 【解】　(1)coseq \f(13π,12)＝cos(π＋eq \f(π,12))＝－coseq \f(π,12) ＝－cos(eq \f(3π,12)－eq \f(2π,12))＝－cos(eq \f(π,4)－eq \f(π,6)) ＝－(coseq \f(π,4)coseq \f(π,6)＋sineq \f(π,4)sineq \f(π,6)) ＝－(eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2))＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4). (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－eq \f(1,2). (3)eq \f(1,2)cos 105°＋eq \f(\r(3),2)sin105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝eq \f(\r(2),2). 【反思感悟】　利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值． 1．(1)cos(－15°)的值是(　　) A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B．eq \f(\r(6)＋\r(2),2) C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D．eq \f(\r(6)＋\r(2),4) (2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝____________________． (3)eq \f(cos 7°－sin 15°sin 8°,cos 8°)＝____________________． 【答案】　(1)D　(2)eq \f(1,2)　(3)eq \f(\r(6)＋\r(2),4) 【解析】　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). (2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°) ＝cos(－60°)＝cos 60°＝eq \f(1,2). (3)原式＝eq \f(cos（15°－8°）－sin 15°sin 8°,cos 8°) ＝eq \f(cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°,cos 8°) ＝eq \f(cos 15°cos 8°,cos 8°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). 二、给值求值 　已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且sin α＝eq \f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cos β的值． 【解】　因为α，β∈(0，eq \f(π,2))， 所以0<α＋β<π， 由cos(α＋β)＝－eq \f(16,65)，得sin(α＋β)＝eq \f(63,65)， 又sin α＝eq \f(4,5)， 所以cos α＝eq \f(3,5)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－eq \f(16,65))×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325). 【反思感悟】　给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 2．已知sin(eq \f(π,3)＋α)＝eq \f(12,13)，α∈(eq \f(π,6)，eq \f(2π,3))，求cos α的值． 【解】　∵α∈(eq \f(π,6)，eq \f(2π,3))， ∴eq \f(π,3)＋α∈(eq \f(π,2)，π)， ∴cos(eq \f(π,3)＋α)＝－eq \r(1－sin2（\f(π,3)＋α）) ＝－eq \r(1－（\f(12,13)）2)＝－eq \f(5,13). ∵α＝(eq \f(π,3)＋α)－eq \f(π,3)， cos α＝cos[(eq \f(π,3)＋α)－eq \f(π,3)] ＝cos(eq \f(π,3)＋α)cos eq \f(π,3)＋sin(eq \f(π,3)＋α)sineq \f(π,3) ＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(12\r(3)－5,26). 三、给值求角问题 　已知sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，cos(α－β)＝eq \f(13,14)，0<β<α<eq \f(π,2)，求角β的大小． 【解】　因为sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)， 所以sin α＝eq \f(4\r(3),7).因为0<α<eq \f(π,2)， 所以cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(1,7). 因为cos(α－β)＝eq \f(13,14)， 且0<β<α<eq \f(π,2)，所以0<α－β<eq \f(π,2)， 所以sin(α－β)＝eq \r(1－cos2（α－β）)＝eq \f(3\r(3),14)， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).因为0<β<eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,3). 【反思感悟】　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 3．已知cos α＝eq \f(1,7)，cos(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α<eq \f(π,2)，求β的值． 【解】　由cos α＝eq \f(1,7)，0<α<eq \f(π,2)，得 sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－（\f(1,7)）2)＝eq \f(4\r(3),7). 由0<β<α<eq \f(π,2)，得0<α－β<eq \f(π,2). 又∵cos(α－β)＝eq \f(13,14)， ∴sin(α－β)＝eq \r(1－cos2（α－β）)＝eq \r(1－（\f(13,14)）2)＝eq \f(3\r(3),14). ∵β＝α－(α－β) ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) ＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2). ∵0<β<eq \f(π,2)，∴β＝eq \f(π,3). 1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 【答案】　C 【解析】　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). 2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝eq \f(12,13)，sin β＝－eq \f(3,5)，则cos(α－β)的值为(　　) A．－eq \f(63,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(63,65) D．eq \f(33,65) 【答案】　A 【解析】　∵α为锐角，cos α＝eq \f(12,13)， ∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(5,13)， ∵β为第三象限角，sin β＝－eq \f(3,5)， ∴cos β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝eq \f(12,13)×(－eq \f(4,5))＋eq \f(5,13)×(－eq \f(3,5))＝－eq \f(63,65). 【答案】　eq \f(8,3) 【解析】　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝eq \f(8,3). 3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝____________________． 【答案】　eq \f(1,2) 【解析】　原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝eq \f(1,2). 4．若cos(α－β)＝eq \f(1,3)，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝_______________． 5．计算：eq \f(1,2)sin 60°＋eq \f(\r(3),2)cos 60°＝____________________． 【答案】　eq \f(\r(3),2) 【解析】　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). 1．知识归纳： (1)两角差的余弦公式的推导． (2)给角求值，给值求值，给值求角． 2．方法归纳：角的构造． 3．常见误区：求角时忽视角的范围． $$