第5章 5.4 5.4.3 正切函数的性质与图象（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第五章　三角函数 数学A 必修第一册 5．4　三角函数的图象与性质 5．4.3　正切函数的性质与图象 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 π 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))) 值域 R 最小正周期 ___ 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间_____________________________上都是增函数 对称性 对称中心________________ (－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z) (eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z) 【思考】　 正切函数y＝tan x的图象与x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z有公共点吗？ 【解析】　提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 隔开的无穷多支曲线组成的． 1．正切函数的定义域和值域都是R.(　　) 2．正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　) 3．正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±eq \f(π,2)，k∈Z.(　　) 4．正切函数是增函数．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.×　4.× 一、正切函数的定义域、值域问题 　(1)函数y＝3tan(eq \f(π,6)－eq \f(x,4))的定义域为____________________． (2)函数y＝tan2x－2tan x(|x|≤eq \f(π,3))的值域为____________________． 【答案】　(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(4π,3)－4kπ，k∈Z))　(2)[－1，3＋2eq \r(3)] 【解析】　(1)由eq \f(π,6)－eq \f(x,4)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠－eq \f(4π,3)－4kπ，k∈Z，即函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(4π,3)－4kπ，k∈Z)). (2)令u＝tan x，∵|x|≤eq \f(π,3)， ∴由正切函数的图象知u∈[－eq \r(3)，eq \r(3) ]， ∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－eq \r(3)，eq \r(3) ]， ∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1， 当u＝－eq \r(3)时，ymax＝3＋2eq \r(3)， ∴原函数的值域为[－1，3＋2eq \r(3)]． 【反思感悟】　 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解． 1．函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域为____________________． 【解】　要使函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)有意义，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tan x＋1≥0，,1－tan x>0，))即－1≤tan x<1. 在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))上满足上述不等式的x的取值范围是[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4))． 又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))). 二、正切函数的单调性及其应用 　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为____________________． (2)求函数y＝3tan(eq \f(π,4)－2x)的单调区间． (1)【答案】　tan 2<tan 3<tan 4<tan 1 【解析】　y＝tan x在区间(eq \f(π,2)，eq \f(3π,2))上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)， 又eq \f(π,2)<2<3<4<π＋1<eq \f(3π,2)， 所以tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. (2)【解】　y＝3tan(eq \f(π,4)－2x)＝－3tan(2x－eq \f(π,4))， 由－eq \f(π,2)＋kπ<2x－eq \f(π,4)<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得， －eq \f(π,8)＋eq \f(k,2)π<x<eq \f(3π,8)＋eq \f(k,2)π，k∈Z， 所以y＝3tan(eq \f(π,4)－2x)的减区间为(－eq \f(π,8)＋eq \f(k,2)π，eq \f(3π,8)＋eq \f(k,2)π)，k∈Z. 【反思感悟】　 1．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 2．y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－eq \f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 2．比较大小：tan(－eq \f(7π,4))和tan(－eq \f(9π,5))． 【解】　∵tan(－eq \f(7π,4))＝－tan(2π－eq \f(π,4))＝ taneq \f(π,4)，tan(－eq \f(9π,5))＝tan(2π－eq \f(9π,5))＝taneq \f(π,5)， 且eq \f(π,4)>eq \f(π,5)， ∴taneq \f(π,4)>taneq \f(π,5)， ∴tan(－eq \f(7π,4))>tan(－eq \f(9π,5))． 三、正切函数图象与性质的综合应用 　设函数f(x)＝tan(eq \f(x,2)－eq \f(π,3))． (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集． 【解】　(1)由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)， 得x≠eq \f(5π,3)＋2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z)). 因为ω＝eq \f(1,2)， 所以最小正周期T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π. 由－eq \f(π,2)＋kπ<eq \f(x,2)－eq \f(π,3)<eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)， 得－eq \f(π,3)＋2kπ<x<eq \f(5π,3)＋2kπ(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间是(－eq \f(π,3)＋2kπ，eq \f(5π,3)＋2kπ)(k∈Z)，无单调递减区间． 由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq \f(2,3)π(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是(kπ＋eq \f(2,3)π，0)，k∈Z. (2)由－1≤tan(eq \f(x,2)－eq \f(π,3))≤eq \r(3)， 得－eq \f(π,4)＋kπ≤eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≤eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)， 解得eq \f(π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)． 所以不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)))). 【反思感悟】　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为(eq \f(kπ,2)，0)，k∈Z. 3．(1)已知函数y＝tan(x－eq \f(π,3))，则该函数图象的对称中心坐标为____________________． (2)判断下列函数的奇偶性： ①y＝3xtan 2x－2x4； ②y＝cos(eq \f(π,2)－x)＋tan x. 【解】　(1)由x－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为(eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，0)，k∈Z. (2)①定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，又f(－x)＝3(－x)tan2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数． ②定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，关于原点对称， y＝cos(eq \f(π,2)－x)＋tan x＝sin x＋tan x， 又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数． 1．函数y＝2tan(2x＋eq \f(π,3))的定义域为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,12))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(π,12))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,12)＋kπ，k∈Z)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,12)＋\f(1,2)kπ，k∈Z)) 【答案】　D 【解析】　由2x＋eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠eq \f(π,12)＋eq \f(1,2)kπ，k∈Z，故函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,12)＋\f(1,2)kπ，k∈Z)))). 2．若tan x≥1，则(　　) A．2kπ－eq \f(π,4)<x<2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z) C．kπ－eq \f(π,4)<x≤kπ(k∈Z) D．kπ＋eq \f(π,4)≤x<kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 【答案】　D 【解析】　因为tan x≥1＝tan eq \f(π,4). 所以eq \f(π,4)＋kπ≤x<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. 3．求函数y＝tan(π－x)，x∈(－eq \f(π,4)，eq \f(π,3))的值域为____________________． 【答案】　(－eq \r(3)，1) 【解析】　y＝tan(π－x)＝－tan x， 在(－eq \f(π,4)，eq \f(π,3))上为减函数，所以值域为(－eq \r(3)，1)． 4．比较大小：taneq \f(1,2)____________________taneq \f(5,2). 【答案】　> 【解析】　∵taneq \f(5,2)＝tan(eq \f(5,2)－π)且－eq \f(π,2)<eq \f(5,2)－π<eq \f(1,2)<eq \f(π,2) ∴taneq \f(1,2)>tan(eq \f(5,2)－π) ∴taneq \f(1,2)>taneq \f(5,2). 5．求函数y＝tan(eq \f(x,2)－eq \f(π,3))的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心． 【解】　①由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得x≠2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z， ∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)))). ②T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π，∴函数的最小正周期为2π. ③由kπ－eq \f(π,2)<eq \f(x,2)－eq \f(π,3)<kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得2kπ－eq \f(π,3)<x<2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，∴函数的单调递增区间为(2kπ－eq \f(π,3)，2kπ＋eq \f(5π,3))，k∈Z. ④由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x＝kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z， ∴函数图象的对称中心是(kπ＋eq \f(2π,3)，0)，k∈Z. 1．知识归纳： (1)正切函数的性质． (2)正切函数的性质的综合应用． 2．方法归纳：三点两线法，整体代换，换元． 3．常见误区：最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)，在定义域内不单调，对称中心为(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)． $$