第4章 4.2 第2课时 指数函数的性质的应用（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

该高中数学课件聚焦指数函数性质的应用，通过复习指数函数基本性质导入，以比较幂的大小、解指数不等式及指数型函数的定义域值域单调性为核心知识点，搭建从基础到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于分层设计学习目标与题型探究，结合思考辨析和分类讨论（如底数a>1与0<a<1的讨论）培养数学思维，通过换元法等方法归纳提升解题能力。课堂小结系统梳理知识、方法与误区，助力学生形成结构化认知，教师使用可高效开展教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

第四章　指数函数与对数函数 数学A 必修第一册 4．2　指数函数 第2课时　指数函数的性质的应用 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 单调性 中间值 单调性 单调性 数学A 必修第一册 相同 相同 相反 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 1．比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过________来判断． 2．解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法： (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的________求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 3．指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有_____的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有_____的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性_____． 1．y＝21－x是R上的增函数．(　　) 2．若0.1a>0.1b，则a>b.(　　) 3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(　　) 4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.×　4.× 一、利用指数函数的单调性比较大小 　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)． 【解】　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数， 故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数， 故a1.1<a0.3. 【反思感悟】　比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 1．比较下列各值的大小： . 【解】　先根据幂的特征，将这4个数分类： (1)负数：(－eq \f(2,3))3；(2)大于1的数：，；(3)大于0且小于1的数：. 在(2)中， (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝(eq \f(4,3))x，y＝2x的图象，再分别取x＝eq \f(1,3)，x＝eq \f(2,3)，比较对应函数值的大小，如图)， 故有. 二、利用指数函数的单调性解不等式 　(1)解不等式(eq \f(1,2))3x－1≤2； (2)已知，求x的取值范围． 【解】　(1)∵2＝(eq \f(1,2))－1，∴原不等式可以转化为(eq \f(1,2))3x－1≤(eq \f(1,2))－1. ∵y＝(eq \f(1,2))x在R上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5. 【反思感悟】　 1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． 2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）>g（x），a>1，,f（x）<g（x），0<a<1.)) 2．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是____________________． 【答案】　(eq \f(1,2)，＋∞) 三、指数型函数的定义域和值域 　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝eq \r(1－3x)； (3)y＝4x＋2x＋1＋2. 【解】　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]． 因为x≤0, 所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1， 所以eq \r(1－3x)∈[0，1)，即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0，1)． (2)定义域为R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴≤(eq \f(1,2))－4＝16. 又∵>0， ∴函数y＝的值域为(0，16]． (3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 【反思感悟】　 1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令t＝f(x)． (2)求t＝f(x)的定义域x∈D. (3)求t＝f(x)的值域t∈M. (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 3．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)y＝(eq \f(2,3))－|x|； (3)y＝eq \r(1－（\f(1,2)）x). 【解】　(1)x应满足x－4≠0， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R} ∵eq \f(1,x－4)≠0，∴≠1， ∴y＝2eq \s\up6(\f(1,x－4))的值域为{y|y>0且y≠1}． (2)定义域为R.∵|x|≥0， ∴y＝(eq \f(2,3))－|x|＝(eq \f(3,2))|x|≥(eq \f(3,2))0＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－(eq \f(1,2))x≥0， ∴(eq \f(1,2))x≤1＝(eq \f(1,2))0， ∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∵x≥0，∴(eq \f(1,2))x≤1. 又∵(eq \f(1,2))x>0，∴0<(eq \f(1,2))x≤1. ∴0≤1－(eq \f(1,2))x<1， ∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0，1)． 四、指数型函数的单调性 　(1)函数的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) (2)判断函数的单调性，并求其值域． (1)【答案】　D (2)【解】　令u＝x2－2x， 易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 又0<eq \f(1,3)<1，所以在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝(eq \f(1,3))u，u∈[－1，＋∞)， 所以0<(eq \f(1,3))u≤(eq \f(1,3))－1＝3， 所以函数f(x)的值域为(0，3]． 【反思感悟】　函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反． 4．求函数(a>0且a≠1)的单调区间． 【解】　设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)． 1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不能确定 【解析】　因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m<n. 【答案】　B 2．f(x)＝(eq \f(1,2))|x|，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 【解析】　由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(eq \f(1,2))x是减函数． 【答案】　D 3．已知函数f(x)＝eq \f(m·2x－1,2x＋1)为奇函数，则m的值等于____________________． 【解析】　由题意可知，f(0)＝eq \f(m·20－1,20＋1)＝eq \f(m－1,2)＝0，∴m＝1. 【答案】　1 4．不等式23－2x<0.53x－4的解集为____________________． 【解析】　原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}． 【答案】　{x|x<1} 5．比较下列各组值的大小： (1)1.8－0.1，1.8－0.2； (2)1.90.3，0.73.1； (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1)． 【解】　(1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2. (2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3<a2.5； 当0<a<1时，函数y＝ax是R上的减函数，又1.3<2.5，故a1.3>a2.5. 1．知识归纳：指数函数的图象与性质的应用：比较大小，解不等式及简单复合函数的单调性． 2．方法归纳：转化与化归，换元法． 3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. $$