第4章 4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

该高中数学课件聚焦n次方根、根式性质、分数指数幂的意义及互化、实数指数幂运算，从n次方根定义切入，通过表格对比奇偶数次方根的表示与取值范围，结合思考问题搭建认知支架，衔接初中根式知识，逐步过渡到分数指数幂，形成从具体到抽象的知识脉络。 其亮点在于通过“思考-解析”环节（如分数指数幂中a>0的规定）培养数学思维，题型探究分层次（基础题与辨析题）并配跟踪训练发展数学眼光，课堂小结归纳知识与误区，“反思感悟”提炼互化规律。学生能提升运算与推理能力，教师可借助分层资源提高教学效率。

第四章　指数函数与对数函数 数学A 必修第一册 4．1　指数 4．1.1　n次方根与分数指数幂 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 xn＝a 根指数 被开方数 数学A 必修第一册 a |a| a －a 0 偶次 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 0 没有 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 ar＋s ars arbr 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 3．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果__________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 eq \r(n,a) R n为偶数 ±eq \r(n,a) [0，＋∞) (3)根式 式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做________，a叫做__________． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，eq \r(n,an)＝___． (2)n为偶数时，eq \r(n,an)＝________＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(_____，a≥0，,______，a<0.)) (3)eq \r(n,0)＝___． (4)负数没有_____方根． 【思考】　 (eq \r(n,a))n中实数a的取值范围是任意实数吗？ 【解析】　提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0. 3．分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数指数幂 规定：＝___(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝_______(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于___， 0的负分数指数幂_____意义 eq \r(n,am) eq \f(1,\r(n,am)) 【思考】　 在分数指数幂与根式的互化公式＝eq \r(n,am)中，为什么必须规定a>0? 【解析】　提示：①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即eq \r(n,am)＝＝0，无研究价值． ②若a<0，＝eq \r(n,am)不一定成立，如＝eq \r(2,（－2）3)无意义，故为了避免上述情况规定了a>0. 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_____(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝_____(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝__________(a>0，b>0，r∈Q)． 1．实数a的奇次方根只有一个．(　　) 2．当n∈N*时，(eq \r(n,－2))n＝－2.(　　) 3.eq \r(（π－4）2)＝π－4.(　　) 4．0的任何指数幂都等于0.(　　) 5．(　　) 6．分数指数幂与根式可以相互转化，如eq \r(4,a2)＝.(　　) 【答案】　1.√　2.×　3.×　4.×　5.×　6.× 一、n次方根的概念 　(1)27的立方根是____________________． (2)已知x6＝2 019，则x＝____________________． (3)若eq \r(4,x＋3)有意义，则实数x的取值范围为____________________． 【答案】　(1)3　(2)±eq \r(6,2019)　(3)[－3，＋∞) 【解析】　(1)27的立方根是3. (2)因为x6＝2 019，所以x＝±eq \r(6,2 019). (3)要使eq \r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． 【反思感悟】　 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)符号：根式eq \r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定． ①当n为偶数，且a≥0时，eq \r(n,a)为非负实数；②当n为奇数时，eq \r(n,a)的符号与a的符号一致． 1．(1)已知x7＝8，则x等于(　　) A．2eq \r(2) B．eq \r(7,8) C．－eq \r(7,8) D．±eq \r(7,8) (2)若eq \r(4,2x＋5)有意义，则x的取值范围是____________________； 若eq \r(5,2x＋5)有意义，则x的取值范围是____________________． 【答案】　(1)B　(2)[－eq \f(5,2)，＋∞]　R 二、利用根式的性质化简或求值 　化简： (1) eq \r(4,（3－π）4)； (2) eq \r(（a－b）2)(a>b)； (3)(eq \r(a－1))2＋eq \r(（1－a）2)＋eq \r(3,（1－a）3). 【解】　(1)eq \r(4,（3－π）4)＝|3－π|＝π－3. (2)∵a>b， ∴eq \r(（a－b）2)＝|a－b|＝a－b. (3)由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 【反思感悟】　正确区分eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n (1)(eq \r(n,a))n已暗含了eq \r(n,a)有意义，据n的奇偶性可知a的范围． (2)eq \r(n,an)中的a可以是全体实数，eq \r(n,an)的值取决于n的奇偶性． 2．化简： (1)eq \r(7,（－2）7)； (2)eq \r(4,（3a－3）4)(a≤1)； (3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,（1－a）4). 【解】　(1)eq \r(7,（－2）7)＝－2. (2)∵a≤1，∴eq \r(4,（3a－3）4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. (3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,（1－a）4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.)) 三、根式与分数指数幂的互化 　(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a>0，b>0)． ①eq \r(3,a)·eq \r(4,a)；② eq \r(a\r(a\r(a)))；③(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3). 【答案】　(1)C 【反思感悟】　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 3．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： 1．已知 eq \r(（a－b）2)＝a－b，则(　　) A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b 【答案】　B 2．在①eq \r(4,（－4）2n)；②eq \r(4,（－4）2n＋1)；③eq \r(5,a4)；④eq \r(4,a5)中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是(　　) A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】　B 3．化简：eq \r(3,－a)·eq \r(6,a)的结果为(　　) A．－eq \r(a) B．－eq \r(－a) C.eq \r(－a) D．eq \r(a) 【答案】　A 4．(eq \f(1,2))－1－4·(－2)－3＋(eq \f(1,4))0－ ＝____________________． 【答案】　eq \f(19,6) 5．化简eq \r(（1－a）2)·eq \r(4,\f(1,（a－1）3))＝____________________． 【答案】　eq \r(4,a－1) 1．知识归纳： (1)n次方根的概念、表示及性质． (2)根式的性质． (3)根式与分数指数幂的互化． 2．常见误区： (1)根式中根指数要求n>1且n∈N*. (2)对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，a≥0. $$