第3章 3.4 函数的应用(一)（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

该高中数学课件聚焦函数模型的实际应用，涵盖一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型，衔接函数概念与性质，通过知识梳理表格搭建基础，以生活情境例题为支架，引导学生从实际问题中抽象函数关系。 其特色在于情境化题型设计与分层训练结合，如报刊亭利润（一次函数）、桶装水定价（二次函数）等实例，培养模型意识与应用意识。通过讲练结合与反思总结，助力学生提升用数学思维解决问题的能力，教师可直接借助完整教学流程高效开展教学。

第三章　函数的概念与性质 数学A 必修第一册 3.4　函数的应用(一) 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点) 常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 一、一次函数模型的应用实例 　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元．卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 【解】　设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸； 每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份； 每月退回报社报纸共10×(x－250)份． 依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)． 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2500)， 化简得y＝1.6x＋800， 其中250≤x≤400， 因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0， 所以y是一个单调增函数， 再由250≤x≤400知， 当x＝400时，y取得最大值， 此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． 所以买进400份所获利润最大，获利1 440元． 【反思感悟】　 1．一次函数模型的实际应用 应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． 2．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 1．某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示． (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式． (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 【解】　(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 由图象可知，当x＝60时，y＝6； 当x＝80时，y＝10. 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60k＋b＝6，,80k＋b＝10.))解得k＝eq \f(1,5)，b＝－6. 所以y与x之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x－6，x>30，,0，x≤30.)) (2)根据题意，当y＝0时，x≤30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg. 二、幂函数与二次函数模型 　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为____________________万元． 【答案】　125 【解析】　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125. (2)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示． 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 【解】　由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶， 设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 在此情况下的日均销售量为 480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)． y＝520－40x>0，则0<x<13. 令(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200 ＝－40(x－6.5)2＋1 490，0<x<13. 易知，当x＝6.5时，y有最大值． 所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润． 【反思感悟】　 1．幂函数应用的常见题型 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意直接列出相应的函数关系式． 2．利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为____________________米． 【答案】　0.5 【解析】　若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系(图略)，则抛物线的对称轴为x＝1. 设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5， 当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2. 所以y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5， 所以绳子的最低点距地面的距离为0.5米． 三、分段函数模型 　经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝eq \f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系； (2)求日销售额S的最大值． 【解】　(1)根据题意得 S＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2t＋200）（\f(1,2)t＋30），1≤t≤30，t∈N，,45（－2t＋200），31≤t≤50，t∈N，)) 即S＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋40t＋6 000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9 000，31≤t≤50，t∈N.)) (2)①当1≤t≤30，t∈N时， S＝－(t－20)2＋6 400， 当t＝20时，S的最大值为6 400. ②当31≤t≤50，t∈N时， S＝－90t＋9 000为减函数， 当t＝31时，S的最大值是6 210. 因为6 210<6 400， 所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400. 【反思感悟】　 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，比较后再下结论． 3．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表： t/天 5 10 20 30 Q/件 35 30 20 10 (1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； (2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式； (3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)． 【解】　(1)由已知可得： P＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋20，0<t<25，t∈N＋，,－t＋100，25≤t≤30，t∈N＋)) (2)日销售量Q与时间t的一个函数式为 Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)． (3)由题意 y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（t＋20）（－t＋40），0<t<25，t∈N＋，,（－t＋100）（－t＋40），25≤t≤30，t∈N＋，)) ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（t－10）2＋900，0<t<25，t∈N＋，,（t－70）2－900，25≤t≤30，t∈N＋.)) 当0<t<25，t＝10时，ymax＝900， 当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1 125. ∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1 125元． 1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) 【答案】　D 【解析】　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0)． 2．网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”． 中国鞋码实际标准(mm) 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法(号) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为(　　) A．150毫米 B．200毫米 C．180毫米 D．210毫米 【解析】　设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码，则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B. 【答案】　B 3．国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税．已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(　　) A．2 800元 B．3 000元 C．3 800元 D．3 818元 【答案】　C 【解析】　由题意知，纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为 y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0　　　　　　　　（0<x≤800），,（x－800）·14% （800<x≤4 000），,11.2%·x （x>4 000），)) 令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3 800， 令11.2%x＝420，得x＝3 750(舍去)．故这个人应得稿费(扣税前)3 800元，故选C. 4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为____________________m. 【答案】　3 5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq \f(x2,5)－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【解】　设可获得总利润为R(x)万元， 则R(x)＝40x－y＝40x－eq \f(x2,5)＋48x－8 000＝－eq \f(x2,5)＋88x－8 000 ＝－eq \f(1,5)(x－220)2＋1 680，0≤x≤210. ∵R(x)在[0，210]上是增函数， ∴当x＝210时， R(x)max＝－eq \f(1,5)(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)． ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 1．知识归纳：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型． 2．方法归纳： 解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原． 3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域． $$