第3章 3.2 3.2.1 第1课时 函数的单调性（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第三章　函数的概念与性质 数学A 必修第一册 3.2　函数的基本性质 3．2.1　单调性及最大(小)值 　第1课时　函数的单调性 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 单调递增 增函数 单调递减 减函数 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 单调性 单调区间 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上__________，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是________． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上__________，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是________． 【思考】　 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 【答案】　(1)不是；(2)不能． 2．函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的__________． 【注意】　(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. 1．如果f(x)在区间[a，b]和[b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　　) 2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　　) 3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　) 4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.×　4.√ 一、函数单调性的判定与证明 　证明函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0，1)上是减函数． 【证明】　设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋eq \f(1,x1))－(x2＋eq \f(1,x2)) ＝(x1－x2)＋(eq \f(1,x1)－eq \f(1,x2)) ＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2) ＝(x1－x2)(1－eq \f(1,x1x2)) ＝eq \f(（x1－x2）（－1＋x1x2）,x1x2) ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0，0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴eq \f(（x1－x2）（－1＋x1x2）,x1x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0，1)上是减函数． 【反思感悟】　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 1．根据定义，研究函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)在x∈(－1，1)上的单调性． 【解】　当a＝0时，f(x)＝0，在(－1，1)上不具有单调性， 当a≠0时，设x1，x2为(－1，1)上的任意两个数，且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝eq \f(ax1,x1－1)－eq \f(ax2,x2－1) ＝eq \f(ax1（x2－1）－ax2（x1－1）,（x1－1）（x2－1）) ＝eq \f(a（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）) 因为x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 所以eq \f(x2－x1,（x1－1）（x2－1）)>0， 当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递减， 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递增． 综上，当a＝0时，f(x)在(－1，1)上不具有单调性； 当a>0时，f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增． 二、求单调区间并判断单调性 　(1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是____________________，在区间____________________上是增函数． 【答案】　[－2，1]和[3，5]　[－5，－2]和[1，3] 【解析】　观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5]． (2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间． 【解】　y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x＜0，)) 即y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x－1）2＋2，x≥0，,－（x＋1）2＋2，x<0.)) 函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)． 【反思感悟】　 (1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 2．(1)函数y＝eq \f(1,x－1)的单调递减区间是____________________． (2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性． 【答案】　(1)(－∞，1)，(1，＋∞) (2)【解】　y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1，1]，[1，3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1，3]；单调递增区间是[－1，1]，[3，＋∞)． 三、单调性的应用 　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是____________________． (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为____________________． 【答案】　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1) 【解析】　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4. ∴实数a的取值范围为(－∞，－4]． (2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1)． 【反思感悟】　函数单调性的应用： (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围． 【解】　由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2. 所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)． 2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围． 【解】　由题意可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq \f(3,2). ∴x的取值范围为(eq \f(3,2)，＋∞)． 1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 【答案】　C 【解析】　函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数． 2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 【答案】　B 【解析】　易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　) A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1) C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2) 【答案】　D 【解析】　二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上为增函数，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)． 4．定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)<f(a)，则实数a的取值范围是____________________． 【答案】　(eq \f(1,2)，2) 【解析】　由题设知实数a应满足：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<1－a<2，,－2<a<2，,1－a<a，)) 解得eq \f(1,2)<a<2. 5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋5，x≤1，,－2x＋a，x>1))是减函数，求实数a的取值范围． 【解】　由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.故实数a的取值范围为(－∞，5]． 1．知识归纳： (1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：函数的单调区间不能用并集，只能用“和”或“，”连接． $$