第3章 3.1 3.1.2 第2课时 分段函数（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第三章　函数的概念与性质 数学A 必修第一册 3．1　函数的概念及其表示 3．1.2　函数的表示法 第2课时　分段函数 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 对应关系 并集 空集 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点、难点) 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点) 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的__________的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是_____． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 1．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))是分段函数．(　　) 2．分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　) 3．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　) 4．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.×　4.√ 一、分段函数求值 　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2＜x＜2.,2x－1，x≥2.)) (1)求f(－5)，f(－eq \r(3))，f(f(－eq \f(5,2)))的值． (2)若f(a)＝3，求实数a的值． (1)【解】　由－5∈(－∞，－2]，－eq \r(3)∈(－2，2)，－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]， 知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3). 因为f(－eq \f(5,2))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)， －2<－eq \f(3,2)<2. 所以f(f(－eq \f(5,2)))＝f(－eq \f(3,2))＝(－eq \f(3,2))2＋2×(－eq \f(3,2))＝eq \f(9,4)－3＝－eq \f(3,4). (2)【解】　①当a≤－2时，f(a)＝a＋1， 所以a＋1＝3， 所以a＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. 所以(a－1)(a＋3)＝0， 所以a＝1或a＝－3. 因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， 所以a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3， 所以a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 【反思感悟】 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 1．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.)) (1)求f(2)，f(f(eq \f(1,2)))； (2)若f(x)＝eq \f(1,4)，求x的值； (3)若f(x)≥eq \f(1,4)，求x的取值范围． 【解】　(1)f(2)＝1， f(eq \f(1,2))＝(eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)， 所以f(f(eq \f(1,2)))＝f(eq \f(1,4))＝eq \f(1,16). (2)f(x)＝eq \f(1,4)等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x2＝\f(1,4)，))① 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1或x<－1，,1＝\f(1,4).))② 解①得x＝±eq \f(1,2)，②的解集为∅. ∴当f(x)＝eq \f(1,4)时，x＝±eq \f(1,2). (3)∵f(x)≥eq \f(1,4)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x2≥\f(1,4))) 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1或x<－1，,1≥\f(1,4)，)) 解得x≥eq \f(1,2)或x≤－eq \f(1,2)， ∴x的取值范围是(－∞，－eq \f(1,2)]∪[eq \f(1,2)，＋∞)． 二、分段函数的图象及应用 　已知函数f(x)＝1＋eq \f(|x|－x,2)(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 【解】　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1，当－2<x<0时， f(x)＝1＋eq \f(－x－x,2)＝1－x， ∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.)) (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． 【反思感悟】　分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 2．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2　（－1≤x≤1），,1　（x>1或x<－1）.)) (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的值域． 【解】　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0，1]． 三、分段函数的实际应用 　A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象． 【解】　(1)汽车从A地到B地，速度为50 公里/小时， 则有s＝50t，到达B地所需时间为eq \f(150,50)＝3(小时)． (2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150. (3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时， 则有s＝150－60(t－5)＝450－60t， 从B地到A地用时eq \f(150,60)＝2.5(小时)． 综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为 s＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50t，0≤t≤3，,150，3＜t≤5，,450－60t，5<t≤7.5.)) 函数图象如图所示． 【反思感悟】　 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养． 3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【解】　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]． 由题意得函数的解析式如下： y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.)) 函数图象如图所示： 1．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，0<x<1，,0，x＝0，,x2－1，－1<x<0))的定义域为____________________，值域为____________________． 【答案】　(－1，1)　(－1，1) 【解析】　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x； 当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时， f(x)＝3. 综上f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.)) 2.函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为____________． 【答案】　f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2)) 3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))＝(　　) A.eq \f(1,5)　　　　　　 B．3 C.eq \f(2,3) D．eq \f(13,9) 【答案】　D 【解析】　∵f(3)＝eq \f(2,3)≤1，∴f(f(3))＝(eq \f(2,3))2＋1＝eq \f(13,9). 4．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x>10，,f（f（x＋5）），x≤10，))则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 【答案】　A 【解析】　∵f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21， ∴f(5)＝f(21)＝24.故选A. 5．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≤－2，,x＋1，－2<x<4，,3x，x≥4，))若f(a)<－3，则a的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 【答案】　C 【解析】　当a≤－2时，a<－3，∴a<－3； 当－2<a<4时，a＋1<－3，a<－4，此时不等式无解； 当a≥4时，3a<－3，a<－1此时不等式无解，故选C. 1．知识归纳： (1)分段函数的概念及求值． (2)分段函数的图象． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合法． 3．常见误区： (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实． $$