第3章 3.1 3.1.1 函数的概念（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第三章　函数的概念与性质 数学A 必修第一册 3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 实数集 任意一个数x 唯一确定 自变量x {f(x)|x∈A} 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 [a，b] (a，b) 数学A 必修第一册 (－∞，＋∞) 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3．能够正确使用区间表示数集．(易混点) 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的_____________按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 __________的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合_______________ 【思考1】　有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 【解析】　提示：这种看法不对，符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ________ {x|a<x<b} 开区间 ________ {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 _____________ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【思考2】　区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 【解析】　提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 1．区间表示数集，数集一定能用区间表示．(　　) 2．数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．(　　) 3．函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　) 4．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．(　　) 5．函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.√　4.×　5.× 一、函数关系的判断 　下列对应关系式中是A到B的函数的是(　　) A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1 B．A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，f：x→y＝|x|＋1 C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2) D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1) 【答案】　B 【反思感悟】　判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A，B必须是非空实数集； (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一． 1．下列图象中，可作为函数图象的是____________________．(填序号) 【答案】　①③④ 二、求函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)； (2)y＝eq \f(（x＋1）0,\r(x＋2))； (3)y＝eq \r(4－x2)＋eq \f(1,x). 【解】　(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－7x≥0，))得0≤x≤eq \f(1,7)， 所以函数y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)的定义域为[0，eq \f(1,7)]． (2)由于0的零次幂无意义， 故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以x>－2且x≠－1. 所以函数y＝eq \f(（x＋1）0,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． (3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x≠0)) 解得－2≤x＜0或0<x≤2， 所以函数y＝eq \r(4－x2)＋eq \f(1,x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]． 【反思感悟】　求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 2．求下列函数的定义域． (1)y＝eq \f(（x＋1）2,x＋1)－eq \r(1－x)； (2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)). 【解】　(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x≤1.)) 所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－3x－2≥0，,4－x≥0，,\r(4－x)≠0，)) 得x≤－eq \f(1,2)或2≤x＜4， 所以定义域为(－∞，－eq \f(1,2)]∪[2，4)． 三、求函数值 　已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值． 【解】　(1)因为f(x)＝eq \f(1,1＋x)， 所以f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3). 又因为g(x)＝x2＋2， 所以g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7). 【反思感悟】　函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 3．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，x≥0，,\f(1,x－1)，x<0，))则f(f(2))＝____________________． 【答案】　－eq \f(1,4) 【解析】　f(2)＝－22＋1＝－3， ∴f(f(2))＝f(－3)＝－eq \f(1,4). 四、同一函数的判断 　(1)下列各组函数： ①f(x)＝eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1； ②f(x)＝eq \f(\r(x),x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x))； ③f(x)＝eq \r(（x＋3）2)，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一函数的是____________________(填序号)． 【答案】　⑤ 【解析】　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数． (2)试判断函数y＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)与函数y＝eq \r(（x＋1）（x－1）)是否为同一函数，并说明理由． 【解】　不相同．对于函数y＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋1≥0，))解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数y＝eq \r(（x＋1）（x－1）)，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数． 【反思感悟】　判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 4．下列各组函数是同一函数的是(　　) A．y＝1，y＝eq \f(x,x) B．y＝eq \r(x－2)·eq \r(x＋2)，y＝eq \r(x2－4) C．y＝|x|，y＝(eq \r(x))2 D．y＝x，y＝eq \r(3,x3) 【答案】　D 【解析】　A，B，C中的两函数定义域均不相同，故选D. 1．下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　) ①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数． A．①④　　　　　　 B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】　A 【解析】　根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1. 2．已知函数f(x)＝eq \f(3,x)，则f(eq \f(1,a))＝(　　) A.eq \f(1,a) B．eq \f(3,a) C．a D．3a 【答案】　D 【解析】　f(eq \f(1,a))＝eq \f(3,\f(1,a))＝3a.故选D. 3．函数f(x)＝eq \f(\r(1－3x),x)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<0或0<x≤\f(1,3))))) 【答案】　D 【解析】　要使f(x)有意义，只需满足{1－3x≥0，x≠0}，即x≤eq \f(1,3)且x≠0，故选D. 4．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) 【答案】　B 【解析】　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B. 5．已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2；②f(x)＝x，g(x)＝eq \r(5,x5)；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．有②④ D．有②③④ 【答案】　C 【解析】　对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同． 1．知识归纳： (1)函数的概念． (2)求函数的定义域、函数值． (3)同一函数的判断． 2．方法归纳：数学抽象． 3．常见误区：化简函数的对应关系时要注意定义域的变化． $$