第2章 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学A 必修第一册 2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时　一元二次不等式的应用 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2．理解三个“二次”之间的关系． 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 1．分式不等式的解法 2．一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0.)) (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 3．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 1．不等式eq \f(1,x)>1的解集为x<1.(　　) 【答案】　× 【解析】　eq \f(1,x)>1⇒eq \f(1,x)－1>0⇒eq \f(x－1,x)<0⇒{x|0<x<1}．故(1)错． 2．求解m>ax2＋bx＋c(a<0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．(　　) 【答案】　× 【解析】　m>ax2＋bx＋c(a<0)恒成立转化为m>ymax，故(2)错． 一、简单分式不等式的解法 　解不等式： (1)eq \f(x＋1,2x＋1)<0； (2)eq \f(1－x,3x＋5)≥0； (3)eq \f(x－1,x＋2)>1. 【解】　原不等式可化为(x＋1)(2x＋1)<0， ∴－1<x<－eq \f(1,2)， 故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<－\f(1,2))))). (2)原不等式可化为eq \f(x－1,3x＋5)≤0， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）（3x＋5）≤0，,3x＋5≠0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)≤x≤1，,x≠－\f(5,3)，)) 即－eq \f(5,3)<x≤1. 故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)<x≤1)))). (3)原不等式可化为eq \f(x－1,x＋2)－1>0， ∴eq \f(x－1－（x＋2）,x＋2)>0，∴eq \f(－3,x＋2)>0，则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 【反思感悟】　 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 1．解下列不等式：(1)eq \f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq \f(5x＋1,x＋1)<3. 【解】　(1)根据商的符号法则，不等式eq \f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）（x－3）≥0，,x≠3.)) 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式eq \f(5x＋1,x＋1)<3时可改写为eq \f(5x＋1,x＋1)－3<0， 即eq \f(2（x－1）,x＋1)<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 二、一元二次不等式的实际应用 　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 【解】　(1)依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为 200a×10%＝20a(万元)． 依题意得eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}． 【反思感悟】　解不等式应用题的步骤 2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． 【解】　设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0<x≤100. 三、 不等式的恒成立问题 　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 【解】　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))⇒－4<m<0. ∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}． (2)y<－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<eq \f(6,x2－x＋1). ∵函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,（x－\f(1,2)）2＋\f(3,4))在[1，3]上的最小值为eq \f(6,7)，∴只需m<eq \f(6,7)即可． ∴m的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))). 【反思感悟】　 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0； 当a≠0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.)) (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0； 当a≠0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.)) (3)对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法． 3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，求实数a的取值范围． 【解】　－2<a≤2　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立； 当a－2≠0，即a≠2时，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝[－2（a－2）]2－4×（a－2）×（－4）<0，)) 解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是－2<a≤2. 1．不等式eq \f(x－2,x＋1)≤0的解集是(　　) A．{x|x<－1或－1<x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1或x≥2} D．{x|－1<x≤2} 【答案】　D 【解析】　此不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x＋1）≤0，,x＋1≠0，)) ∴－1<x≤2. 2．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　) A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} 【答案】　B 【解析】　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400(20－eq \f(5,2)t)×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5. 3．不等式eq \f(1,x－1)≥－1的解集是____________________． 【答案】　{x|x≤0或x>1} 【解析】　eq \f(1,x－1)≥－1⇒eq \f(1,x－1)＋1≥0⇔eq \f(x,x－1)≥0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－1）≥0，,x－1≠0，))∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}． 4．已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为____________________． 【答案】　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(k>\f(1,4))))) 【解析】　由题意知Δ<0，即1－4k<0， 得k>eq \f(1,4)，即k的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(k>\f(1,4))))). 5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________________． 【答案】　a>4或a<－4 【解析】　∵x2＋ax＋4<0的解集不是空集， 即不等式x2＋ax＋4<0有解， ∴Δ＝a2－4×1×4>0，解得， a>4或a<－4. 1．知识归纳： (1)简单的分式不等式的解法 (2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： ①选取合适的字母表示题目中的未知数； ②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； ③求解所列出的不等式(组)； ④结合题目的实际意义确定答案． 2．方法归纳：转化、恒等变形． 3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． $$