第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学A 必修第一册 2．2　基本不等式 第2课时　基本不等式的应用 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 大 小 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 已知x，y都是正数， (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最___值eq \f(S2,4). (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最___值2eq \r(p). 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 【答案】　× 【解析】　a，b为正实数． 3．若x>2，则x＋eq \f(1,x)的最小值为2.(　　) 【答案】　× 【解析】　当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2. 1．对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值．(　　) 【解析】　a，b为正实数． 【答案】　× 2．对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值．(　　) 一、利用基本不等式求最值 　(1)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值； (2)已知eq \f(2,x)＋eq \f(2,y)＝1，(x>0，y>0)，求x＋y的最小值． 【解】　(1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时， 等号成立． ∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6. (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·(eq \f(2,x)＋eq \f(2,y))＝4＋2(eq \f(x,y)＋eq \f(y,x))≥4＋4eq \r(\f(x,y)·\f(y,x))＝8. 当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(y,x)，即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8. 【反思感悟】　利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章3.2函数的基本性质中学习． 1．(1)若x<0，求eq \f(12,x)＋3x的最大值； (2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 【解】　(1)因为x<0，所以eq \f(12,x)＋3x＝－[(－eq \f(12,x))＋(－3x)]≤－2eq \r(（－\f(12,x)）·（－3x）)＝－12，当且仅当－eq \f(12,x)＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以eq \f(12,x)＋3x的最大值为－12. (2)法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq \f(2x,x－8)， ∴x＋y＝x＋eq \f(2x,x－8)＝x＋eq \f(（2x－16）＋16,x－8) ＝(x－8)＋eq \f(16,x－8)＋10≥2 eq \r(（x－8）×\f(16,x－8))＋10＝18. 当且仅当x－8＝eq \f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 法二：由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1. ∴x＋y＝(x＋y)(eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)) ＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18. 当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 二、基本不等式在实际问题中的应用 　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【解】　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知xa＝360，得a＝eq \f(360,x)， ∴y＝225x＋eq \f(3602,x)－360. ∵x>0， ∴225x＋eq \f(3602,x)≥2 eq \r(225×3602)＝10 800. ∴y＝225x＋eq \f(3602,x)－360≥10 440. 当且仅当225x＝eq \f(3602,x)，等号成立． 【反思感悟】　在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数．(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案． 2．2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少． 【解】　由题意，得k＋9＝10，即k＝1， 生产1 000千克该产品需要的时间是eq \f(1 000,x)， 所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为 y＝eq \f(1 000,x)(x2＋9)＝1 000(x＋eq \f(9,x))≥1 000×2 eq \r(9)＝6 000， 当且仅当x＝eq \f(9,x)，即x＝3时，等号成立，且1<3<10. 故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克． 三、基本不等式的综合应用 　(1)已知x>0，y>0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值． 【解】　(1)∵x>0，y>0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1， ∴x＋2y＝(eq \f(8,x)＋eq \f(1,y))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18， 当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝3))时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18. (2)已知a>0，b>0，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10　　　　　　　 B．9 C．8 D．7 【答案】　B 【解析】　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，只需m≤(2a＋b)(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))恒成立，而(2a＋b)(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))＝4＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9. 【反思感悟】　利用基本不等式求条件最值的常用方法 (1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值． (2)构造法： ①构造不等式：利用ab≤(eq \f(a＋b,2))2，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围； ②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值． (3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值． 3．(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值． (2)已知0<x<eq \f(1,3)，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 【解】　(1)法一：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))·1 ＝(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))·(a＋2b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2 ＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2 eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时，等号成立． ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2). 法二：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋2b,a)＋eq \f(a＋2b,b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2 ＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时，等号成立， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2). (2)法一：∵0<x<eq \f(1,3)，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝eq \f(1,3)·3x(1－3x)≤eq \f(1,3)[eq \f(3x＋（1－3x）,2)]2＝eq \f(1,12). 当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立． ∴当x＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值eq \f(1,12). 法二：∵0<x<eq \f(1,3)，∴eq \f(1,3)－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x(eq \f(1,3)－x)≤3·(eq \f(x＋\f(1,3)－x,2))2＝eq \f(1,12)， 当且仅当x＝eq \f(1,3)－x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立． ∴当x＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值eq \f(1,12). 1．当x>0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为(　　) A．4　　　　　　　　 B．8 C．8eq \r(3) D．16 【解析】　∵x>0，∴eq \f(12,x)>0，4x>0. ∴eq \f(12,x)＋4x≥2 eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3). 当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)， ∴当x>0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为8eq \r(3). 【答案】　C 2．已知x>－2，则x＋eq \f(1,x＋2)的最小值为(　　) A．－eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．0 【答案】　D 【解析】　因为x>－2，∴x＋eq \f(1,x＋2)＝x＋2＋eq \f(1,x＋2)－2≥2－2＝0，当且仅当x＝－1时等号成立． 3．已知4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝____________________． 【答案】　36 【解析】　4x＋eq \f(a,x)≥2 eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a). 当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即4x2＝a时等号成立． 由题意得a＝4×32＝36. 4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为____________________． 【解析】　由题意得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)， 所以1＋x＝eq \r(（1＋a）（1＋b）)≤eq \f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq \f(a＋b,2)， 所以x≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时等号成立． 【答案】　x≤eq \f(a＋b,2) 5．已知x>0，求函数y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)的最小值． 【答案】　9 【解析】　∵y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)＋5≥2eq \r(4)＋5＝9， 当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立． 故y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)(x>0)的最小值为9. 1．知识归纳： (1)已知x，y是正数． ①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． ②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤． ①审题，②建模(列式)，③解模，④作答． 2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件． $$