第2章 2.2 第1课时 基本不等式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学A 必修第一册 2．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 ≤ a＝b 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 1．如果a>0，b>0，eq \r(ab)___eq \f(a＋b,2)，当且仅当________时，等号成立． 其中_________叫做正数a，b的算术平均数，___叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤(eq \f(a＋b,2))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2eq \r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　　) 2．n∈N*时，n＋eq \f(2,n)>2eq \r(2).(　　) 3．x≠0时，x＋eq \f(1,x)≥2.(　　) 4．若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.×　4.× 一、与基本不等式有关的比较大小问题 　设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2) B．a<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)<b C．a<eq \r(ab)<b<eq \f(a＋b,2) D.eq \r(ab)<a<eq \f(a＋b,2)<b 【答案】　B 【解析】　法一：∵a<b且eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2) ∴a＝eq \r(a·a)<eq \r(a·b)<eq \f(a＋b,2)<eq \f(b＋b,2)＝b，故选B. 法二：取a＝1，b＝2可得只有B正确． 【反思感悟】　利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 1．已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2eq \r(ab) B．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D．eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab) 【答案】　D 【解析】　由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)得a＋b≥2eq \r(ab)， ∴A成立； ∵eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立； ∵eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥eq \f(2ab,\r(ab))＝2eq \r(ab)，∴C成立； ∵eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，∴D不一定成立． 二、用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9. 【证明】　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c) ＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c) ＝3＋(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)) ≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2 eq \r(\f(c,b)·\f(b,c)) ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时取等号． ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9. 【反思感悟】　条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－eq \r(ab)－eq \r(bc)－eq \r(ac)≥0. 【证明】　∵a，b，c都是正数， ∴a＋b≥2eq \r(ab)，b＋c≥2eq \r(bc)，a＋c≥2eq \r(ac)， ∴2(a＋b＋c)＝a＋b＋a＋c＋b＋c≥2eq \r(ab)＋2eq \r(ac)＋2eq \r(bc) ∴a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ac) 即：a＋b＋c－eq \r(ab)－eq \r(bc)－eq \r(ac)≥0. 1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>b B．b>eq \r(ab)>eq \f(a＋b,2)>a C．b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>a D．b>a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab) 【答案】　C 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋eq \f(1,a)≥2 B．(－a)＋(－eq \f(1,a))≤－2 C．a2＋eq \f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋(－eq \f(1,a))2≤－2 【答案】　C 3．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋eq \f(4,x) B．y＝2t＋eq \f(1,t) C．y＝4t＋eq \f(1,t)(t>0) D．y＝t＋eq \f(1,t) 【答案】　C 4．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3) 【答案】　D 5．已知x>－1，则eq \f(（x＋10）（x＋2）,x＋1)的最小值为____________________． 【答案】　16 1．知识归纳： 两个不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b都是正数)． 2．方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式． 3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误． $$