第2章 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学A 必修第一册 2．1　等式性质与不等式性质 第2课时　等式性质与不等式性质 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 b＝a a＝c 数学A 必修第一册 < > > < 数学A 必修第一册 > > > 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点) 3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异． 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么________． (2)如果a＝b，b＝c，那么________． (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c). 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b___a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c___b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac___bc c的 符号 ⇒ac___bc 5 同向可 加性 ⇒a＋c___b＋d 同向 6 同向同 正可乘性 ⇒ac___bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an___bn(n∈N，n≥2) 同正 1．若a>b，则ac>bc一定成立．(　　) 2．若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 【答案】　1.×　2.× 一、利用不等式性质判断命题真假 　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b) C．若a<b<0，则eq \f(b,a)>eq \f(a,b) D．若a>b，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a>0，b<0 【答案】　D 【解析】　法一：∵c2≥0，∴c＝0时， 有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)>eq \f(1,a)，故B为假命题； eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b<0⇒－a>－b>0⇒－\f(1,b)>－\f(1,a)>0，,a<b<0⇒－a>－b>0.))⇒eq \f(a,b)>eq \f(b,a)， 故C为假命题； eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b⇒b－a<0，,\f(1,a)>\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)>0⇒\f(b－a,ab)>0，))⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1. 有eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，故B错． 取a＝－2，b＝－1，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2， 有eq \f(b,a)<eq \f(a,b)，故C错． 【反思感悟】　首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算． 1．下列命题正确的是(　　) A．若a2>b2，则a>b B．若eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a<b C．若ac>bc，则a>b D．若eq \r(a)<eq \r(b)，则a<b 【答案】　D 【解析】　A错，例如(－3)2>22；B错，例如eq \f(1,2)>eq \f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac>bc，但a<b. 二、利用性质比较大小 　若P＝eq \r(a＋6)＋eq \r(a＋7)，Q＝eq \r(a＋5)＋eq \r(a＋8)(a>－5)，则P，Q的大小关系为(　　) A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定 【答案】　C 【反思感悟】　比较大小的两种方法 作商比较法 乘方比较法 依据 a>0，b>0，且eq \f(a,b)>1⇒a>b； a>0，b>0，且eq \f(a,b)<1⇒a<b a2>b2且a>0，b>0⇒a>b 应用 范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号 步骤 ①作商 ②变形 ③判断商值与1的大小 ④下结论 ①乘方 ②用作差比较法或作商比较法 2．下列命题中一定正确的是(　　) A．若a>b，且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则eq \f(a,b)>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b，且ac>bd，则c>d 【答案】　A 三、利用不等式的性质求范围 　已知1<a<4，2<b<8，试求a－b与eq \f(a,b)的取值范围． 【解】　因为1<a<4，2<b<8， 所以－8<－b<－2. 所以1－8<a－b<4－2， 即－7<a－b<2. 又因为eq \f(1,8)<eq \f(1,b)<eq \f(1,2)，所以eq \f(1,8)<eq \f(a,b)<eq \f(4,2)＝2， 即eq \f(1,8)<eq \f(a,b)<2. 反思感悟　求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减． 3．已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是____________________． 【答案】　－eq \f(3,2)<2a－b<eq \f(5,2) 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 【答案】　A 【解析】　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0.∴M>N. 2．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 【答案】　D 【解析】　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D. 3．若8<x<10，2<y<4，则eq \f(x,y)的取值范围为____________________． 【答案】　2<eq \f(x,y)<5 4．下列命题中，真命题是____________________(填序号)． ①若a>b>0，则eq \f(1,a2)<eq \f(1,b2)；②若a>b，则c－2a<c－2b；③若a<0，b>0，则eq \r(－a)<eq \r(b)；④若a>b，则2a>2b. 【答案】　①②④ 【解析】　①a>b>0⇒0<eq \f(1,a)<eq \f(1,b)⇒eq \f(1,a2)<eq \f(1,b2)；②a>b⇒－2a<－2b⇒c－2a<c－2b；对③取a＝－2，b＝1，则eq \r(－a)<eq \r(b)不成立．④正确． 5．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 【答案】　A 【解析】　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1. ∴－2<α－β<2，但α<β.故知－2<α－β<0. 1．知识归纳： (1)等式的性质． (2)不等式的性质及其应用． 2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法． 3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性． $$