第2章 2.1 第1课时 不等关系与不等式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学A 必修第一册 2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 不等式 a≥b a＝b 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) 1．不等关系 不等关系常用________来表示． 2．实数a，b的比较大小 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b>0 a>b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b<0 a<b 3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． 1．不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) 2．若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　) 3．若a>b，则ac>bc一定成立．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.× 一、用不等式(组)表示不等关系 　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组)． 【解】　设截得500 mm的钢管x根， 截得600 mm的钢管y根，根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4 000，,3x≥y，,x≥0且x∈N，,y≥0且y∈N.)) 【反思感悟】　在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． 1．某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 【解】　提价后销售的总收入为(8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20(2.5≤x＜6.5)． 二、实数(式)的比较大小 　已知a>0，试比较a与eq \f(1,a)的大小． 【解】　因为a－eq \f(1,a)＝eq \f(a2－1,a)＝eq \f(（a－1）（a＋1）,a)，a>0， 所以当a>1时，eq \f(（a－1）（a＋1）,a)>0，有a>eq \f(1,a)； 当a＝1时，eq \f(（a－1）（a＋1）,a)＝0，有a＝eq \f(1,a)； 当0<a<1时，eq \f(（a－1）（a＋1）,a)<0，有a<eq \f(1,a). 综上，当a>1时，a>eq \f(1,a)； 当a＝1时，a＝eq \f(1,a)； 当0<a<1时，a<eq \f(1,a). 【反思感悟】　作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号．变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系。 第三步：得出结论． 2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 【解】　3x3－(3x2－x＋1) ＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 三、重要不等式 　已知a>0，求证：a＋eq \f(1,a)≥2. 【证明】　利用a2＋b2≥2ab. ∵a>0，∴a＋eq \f(1,a)＝(eq \r(a))2＋(eq \f(1,\r(a)))2≥2eq \r(a)·eq \f(1,\r(a))＝2. 1．实数x大于eq \r(10)，用不等式表示为(　　) A．x<eq \r(10) B．x≤eq \r(10) C．x>eq \r(10) D．x≥eq \r(10) 【答案】　C 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒eq \f(1,2)厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为(　　) A．4×2x≥100 B．4×2x≤100 C．4×2x>100 D．4×2x<100 【答案】　C 3．若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为____________________． 【答案】　eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2) 【解析】　eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,2（1＋x2）)＝eq \f(－（x－1）2,2（1＋x2）)≤0. ∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2). 4．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为____________________． 【答案】　10y＋x>70 【解析】　该两位数可表示为10y＋x， ∴70<10y＋x. 5．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐5 t、硝酸盐14 t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐2 t、硝酸盐13 t，现库存磷酸盐20 t、硝酸盐60 t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式． 【解】　设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2y≤20，,14x＋13y≤60，,x∈N，y∈N.)) 1．知识归纳： (1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)． (2)比较大小． (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法． 3．常见误区：实际问题中变量的实际意义． $$