第1章 1.4 充分条件与必要条件（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第一章　集合与常用逻辑用语 数学A 必修第一册 1．4　充分条件与必要条件 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 ⇒ 充分 充分 必要 必要 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p___q p___q 条件 关系 p是q的_____条件 q是p的_____条件 p不是q的_____条件 q不是p的_____条件 eq \o(⇒,/) 【思考1】 (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 【解析】　提示：(1)相同，都是p⇒q. (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 【答案】　等价 2．充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的____________________条件，简称____________________条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q____________________条件． (2)若p⇒q，但qeq \o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但peq \o(⇒,/)q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若peq \o(⇒,/) q，且qeq \o(⇒,/) p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【答案】　充分必要　充要　互为充要 【思考2】 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 【解析】　提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) 2．q不是p的必要条件时，“peq \o(⇒,/) q”成立．(　　) 3．若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.× 一、充分、必要、充要条件的判断 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 【解】　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 【反思感悟】　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 1．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的____________________条件． 【答案】　充要 二、充分条件、必要条件、充要条件的应用 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____________________． 【答案】　{m|m≥9} 本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围． 【解】　p：－2≤x≤10， q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10.)) 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 【反思感悟】　利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系． (3)利用集合间的关系建立不等式． (4)求解参数范围． 2．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】　设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(m,4)))))， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－eq \f(m,4)≤－2，即m≥8. 所以m的范围为{m|m≥8}． 三、充要条件的探求与证明 　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【证明】　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝eq \f(c,a)<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. ②充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝eq \f(c,a)<0(x1，x2为方程的两个相异实根，且两根异号，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【反思感悟】　从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 3．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 【证明】　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， x＝0时y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 1．“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”．故选A. 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A. 3．设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的(　　) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 【解析】　p⇒q，但qeq \o(⇒,/) p. 4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是____________________． 【答案】　a<0 【解析】　由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0. 5．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解】　由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a＜0， 所以a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤a＜0)))). 1．知识归纳： (1)充要条件概念的理解． (2)充要条件的证明． (3)根据条件求参数范围． 2．方法归纳：等价转化为集合间的关系． 3．常见误区：条件和结论辨别不清． $$