第三单元 分数除法（解决问题专项）数学苏教版六年级上册

第三单元 分数除法 （12个类型题讲练+三大难度分层练 共51题） 第一部分：类型题讲练 2 思路引导 方法点拨 2 应用类型01：“已知总量求分量”的逆运算：已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位“1”） 2 应用类型02：“已知平均一份的量求总量”的逆运算：已知平均数求总和（分数形式的平均数） 3 应用类型03：“求一份是另一份的几分之几”的逆运算：已知具体数量和比例求总量 4 应用类型04：“分数倍”的逆运算：已知A是B的几分之几（或A比B多/少几分之几）和A或B的具体值，求另一个量 5 应用类型05：行程问题（速度、时间、距离关系） 5 解决问题 分类讲练 6 类型1 分数的平均分问题的实际应用 6 类型2 分数与整数的除法的实际应用 7 类型3 分数与分数的除法的实际应用 8 类型4 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 9 类型5 分数的连除运算的实际应用 10 类型6 分数的乘、除法的混合运算的实际应用 11 类型7 比的意义的实际应用 12 类型8 求比值的实际应用 14 类型9 比的基本性质的实际应用 15 类型10 比的化简的实际应用 16 类型11 按比分配问题 18 类型12 比的应用 19 第二部分：难度分层训练 20 A夯实基础 20 B培优拔高 21 C思维拓展 23 第一部分：类型题讲练 应用类型01：“已知总量求分量”的逆运算：已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位“1”） 这是最常见、最核心的应用类型。其本质是：已知部分量及其对应的分率（这个部分量占整体的几分之几），求整体（单位“1”）的量。 问题结构/关键词： “是/相当于谁的几分之几”， “占谁的几分之几”， “一个数的几分之几是多少（已知‘是多少’，求‘这个数’）” 。 数学模型： 部分量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的量 (总量) 分率是指部分量占总量的比例。 示例： 基础型： 小红的体重是爸爸体重的，小红的体重是21千克。爸爸的体重是多少千克？ 思路引导： 这里爸爸的体重是单位“1”（总量），未知。小红的体重（21千克）是爸爸体重的（部分量及其对应分率）。 关系式： 爸爸体重 × = 小红体重 (21千克) 解答过程： 单位“1”（爸爸体重）未知 -> 用除法 -> 爸爸体重 = 21 ÷ = 21 × = 56 (千克) 稍复杂型（连续分率）： 修路队修一条公路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，还剩30千米没修。这条公路全长多少千米？ 思路引导：公路全长是单位“1”。 第一周修了：全长 × -> 余下：全长 × (1 - ) = 全长 × 第二周修了：余下的 -> (全长 × ) × = 全长 × ( × ) = 全长 × 剩下的(30千米)对应分率：全长 - 第一周修的分率 - 第二周修的分率 = 1 - - = - - = 解答过程： 单位“1”（全长）未知 -> 用除法 -> 公路全长 = 30 ÷ = 30 × = 100 (千米) （关键找到30千米对应的单位“1”的分率是） 应用类型02：“已知平均一份的量求总量”的逆运算：已知平均数求总和（分数形式的平均数） 这是平均分概念的延伸，特别是当平均数以分数形式出现时。 问题结构/关键词： “平均分成多少份”， “平均是多少”， “每个是多少”， “然后求原来的总量”。 数学模型： 每份的量 × 总份数 = 总量 -> 平均数 (即每份的量) × 份数 = 总量 难点在于平均数可能是分数。 示例： 基础型： 把一些糖果平均分给6个小朋友，每个小朋友分得千克。这些糖果一共有多少千克？ 思路引导：总数（糖果总重） ÷ 小朋友数（6） = 每个小朋友分得重量 (千克) 关系式： 糖果总重 = 每个小朋友的重量 × 小朋友人数 解答过程： × 6 = = = 4.5 (千克) （这里用了乘法，本质是整数乘分数） 分数除法核心应用型（与类型一结合）： 用桶水正好装满了一个容量为4升的水盆。一桶水有多少升？ 思路引导：“桶水” 是部分量（4升），求“一桶水”（单位“1”）是多少升。这是典型的“已知单位‘1’的几分之几是多少，求单位‘1’”。 关系式：一桶水 × = 4升 解答过程：一桶水 = 4 ÷ = 4 × = 10 (升) （本质是类型一） 应用类型03：“求一份是另一份的几分之几”的逆运算：已知具体数量和比例求总量 这种类型本质上也是求单位“1”的量，只是表述上侧重数量和比例的对应关系。 问题结构/关键词： “其中一部分...求整体”， “一部分是...另一部分是...”， “比例关系”。 数学模型： 具体数量 ÷ 该数量对应的分率 = 单位“1”的量 (总量) 示例： 基础型： 学校合唱队男生有15人，是女生人数的。合唱队一共有多少人？ 思路引导： 男生人数（15人）相当于女生人数的。这里女生人数是单位“1”（“谁的”中的“谁”）。 关系式1（先求女生）： 女生人数 × = 15人 -> 女生人数 = 15 ÷ = 15 × = 20 (人) 关系式2（再求总数）： 总人数 = 男生 + 女生 = 15 + 20 = 35 (人) 或者（比例法）： 男生:女生 = 3:4, 总份数3+4=7份。男生15人对应3份。每份人数：15 ÷ 3 = 5（人）。总人数：5 × 7 = 35（人）。但分数除法核心思路还是数量÷对应分率=单位1。 单位转换（隐含）： 一袋大米吃了，还剩下12千克。这袋大米原有多少千克？ 思路引导：大米总量是单位“1”。吃了，剩下1 - = 。剩下的12千克对应的就是总量的。 关系式： 总量 × = 12千克 解答过程： 总量 = 12 ÷ = 12 × = 30 (千克) （还是类型一） 应用类型04：“分数倍”的逆运算：已知A是B的几分之几（或A比B多/少几分之几）和A或B的具体值，求另一个量 当涉及到倍数关系时，特别需要弄清楚“谁”是单位“1”。 问题结构/关键词： “A是B的几分之几”（求B，B是单位“1”）, “A比B多（或少）几分之几”（求B，B是单位“1”）。 数学模型： A = B × (分率) -> B = A ÷ (分率) A = B × (1 ± 分率) -> B = A ÷ (1 ± 分率) 示例： 是几分之几： 小明的身高是爸爸身高的。小明的身高是120厘米，爸爸的身高是多少厘米？ 思路引导： 爸爸身高（单位“1”）的等于小明的身高（120厘米）。 解答过程：爸爸身高 = 120 ÷ = 120 × = 150 (厘米) （本质又是类型一） 比...多/少几分之几： 一个工厂实际生产零件1800个，比原计划多生产了。原计划生产零件多少个？ 思路引导：原计划产量（单位“1”）。实际比计划多，所以实际是计划的(1 + ) = 。实际数量1800个对应的就是计划的。 关系式： 原计划 × (1 + ) = 1800 -> 原计划 × = 1800 解答过程： 原计划 = 1800 ÷ = 1800 × = 1500 (个) 应用类型05：行程问题（速度、时间、距离关系） 在行程问题中，当速度以分数形式表示时，可能会用到分数除法求距离或时间。 数学模型： 距离 = 速度 × 时间 速度 = 距离 ÷ 时间 时间 = 距离 ÷ 速度 示例： 求时间： 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶小时行驶了多少千米？ (80 × = 60 - 这是分数乘法) 分数除法应用： 一辆汽车用小时行驶了40千米。这辆汽车的速度是每小时多少千米？ 思路引导：求速度（千米/小时），公式：速度 = 路程 ÷ 时间 解答过程：速度 = 40 ÷ = 40 × = 60 (千米/小时) 求路程（单位1，但结合速度）： 一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的，这时离甲地有54千米。甲乙两地相距多少千米？ 思路引导： 两地距离是单位“1”。已经行了全程的，那么离甲地的距离（54千米）对应的就是全程的（因为是从甲地出发的）。 解答过程：全程距离 = 54 ÷ = 54 × = 135 (千米) （本质还是类型一） 类型1 分数的平均分问题的实际应用 典型例题1：（20-21六年级上·福建三明·期中）林华看一本120页的文艺书，3天看了这本书的。 （1）林华平均每天看这本书的几分之几？ （2）这本书还剩下多少页没有看？ 思路分析： （1）根据分数平均分的意义，列式计算即可。 （2）把总页数看成单位“1”，用1减去求出剩下这本书的几分之几，再用总页数乘这个分率即可求出这本书还剩下多少页没有看。 答题区： 变式训练1：（2021六年级上·江苏·专题练习）张强看一本故事书，4天看了这本书的，张强平均每天看这本书的几分之几？照这样算，他8天能看完这本书吗？ 变式训练2：（21-22六年级上·全国·课后作业）小明的妈妈买回一袋水果糖，重kg，分给小明和他的4个好朋友，平均每人分多少千克？ 类型2 分数与整数的除法的实际应用 典型例题2：（24-25六年级下·江苏连云港·期中）中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天，东海县的黑夜时间是白昼的。白昼和黑夜分别是多少小时？ 思路分析： 一天有24小时，黑夜时间是白昼的，那么白昼时间看作单位“1”，一天的时间相当于白昼时间的（1＋）倍。用一天的总时长除这个倍数可得到白昼时间，再用白昼时间乘得到黑夜时间。据此解答。 答题区： 变式训练1：（2024·江苏常州·小升初真题）（1）鲜达美水果店的山东樱桃每千克32元，王阿姨买了12千克，如果再买3千克山东樱桃，一共的钱才够买6千克车厘子。车厘子的单价是多少元/千克？ （2）星期一鲜达美水果店樱桃的销量是果香水果店的，星期二鲜达美水果店比果香水果店多售出35千克樱桃，两家店这两天樱桃的总销量相同。星期一果香水果店售出多少千克樱桃？ 变式训练2：（2024·江苏常州·小升初真题）学校“幸福农场”共收获茄子和番茄120个，准备送给西新社区老年公寓的爷爷奶奶。如果送出茄子的，则剩下的茄子和番茄个数相等。幸福农场原来收获茄子和番茄各有多少个？（先把线段图补充完整，再解答） 类型3 分数与分数的除法的实际应用 典型例题3：（24-25六年级上·江苏连云港·期中）一瓶升的饮料。如果倒入甲种型号的杯子，可以倒杯；如果倒入乙种型号的杯子可以倒杯，哪种杯子的容积大一些？请用你喜欢的方式说明理由。 思路分析：用饮料的体积除以倒的杯数，求出甲乙两种型号杯子的容积，再比较大小即可。 答题区： 变式训练1：（24-25六年级上·安徽合肥·期中）随着物流迅猛发展，人工智能参与其中，快递从人工分拣走向自动分拣。一种自动分拣系统小时可以分拣万件货物。照这样计算，小时可以分拣多少万件货物？ 变式训练2：（2021五年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发。沿同一公路追赶前面的一个行人，为三辆车分别用6分钟，10分钟，12分钟追上这个行人，已知甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米，则丙车每小时行多少千米？ 类型4 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 典型例题4：（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）果园里梨树的棵数是苹果树的。如果梨树有200棵，那么苹果树有( )棵；如果两种果树一共有260棵，那么梨树有( )棵。 思路分析：把苹果树棵数看作单位“1”。已知梨树棵数是苹果树的，梨树有200棵，用200除以即可得到苹果树的棵数。 由于梨树棵数是苹果树的，＝5∶8，将苹果树棵数视为8份，梨树棵数是5份，两种树总份数为5＋8＝13份。每份的数量为260÷13＝20（棵），梨树占5份，所以用20乘5即可解答。 答题区： 变式训练1：（23-24六年级下·江苏南京·期末）五月份第一车间与第二车间的产量比是4∶7，第一车间与第三车间的产量比是5∶3。若五月份第二车间生产1400件产品，则五月份第三车间生产多少件产品？ 变式训练2：（24-25六年级上·江苏盐城·期末）我们赖以生存的地球，体积约为1.08万亿立方公里，在这颗蓝色星球上，有七大洲，四大洋，亿万生命。七大洲分别是亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋洲和南极洲，其中最小的是大洋洲，面积约为900万平方千米。欧洲的面积是大洋洲的，是北美洲的。北美洲的面积大约是多少万平方千米？ 类型5 分数的连除运算的实际应用 典型例题5：（24-25六年级上·河南平顶山·期中）为解决社区居民买菜难的问题，某蔬菜供应商从农户家里共收购80吨大白菜，是胡萝卜的，收购的胡萝卜是芹菜的，收购芹菜（    ）吨。 A．98 B．108 C．116 D．232 思路分析：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，将胡萝卜的质量看作单位“1”，胡萝卜的质量＝大白菜的质量÷大白菜的质量占胡萝卜质量的分率，将芹菜的质量看作单位“1”，芹菜的质量＝胡萝卜的质量÷胡萝卜的质量占芹菜质量的分率，据此解答。 答题区： 变式训练1：（24-25六年级上·江苏·课后作业）一块地有公顷，用3台拖拉机来耕，小时可以耕完。平均每台拖拉机每小时耕地多少公顷？ 变式训练2：（23-24六年级上·安徽合肥·期中）油是一种重要的营养物质，但是如果吃油过多就会给健康带来不利影响。中国营养学会建议每人每天食用油的摄入量不超过千克。王明家3口人15天吃完一瓶重千克的食用油。我家平均每人每天的食用油摄入量超过标准了吗？ 类型6 分数的乘、除法的混合运算的实际应用 典型例题6：（24-25六年级上·江苏徐州·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，“蚂蚁森林”的工作人员在西北某沙漠种植了一批需水量较低的树木。其中种植了600棵胡杨，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，是沙棘棵数的。工作人员种植了多少棵沙棘树？ 思路分析：求一个数的几分之几是多少用乘法，据此用胡杨的棵树乘即可求出沙柳的棵树，再根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法，用沙柳的棵树除以即可得到沙棘的棵树。 答题区： 变式训练1：（24-25六年级上·海南海口·期中）学校举行数独比赛，获得三等奖的有45人，获得一等奖的人数是获得三等奖的，获得一等奖的人数是二等奖的，获得二等奖的有多少人？ 变式训练2：（24-25六年级上·江苏淮安·期中）据检测，在炎热的夏天，城市的沥青路面的温度高达55摄氏度，沥青路面的温度是土壤表面的，而草坪地表的温度是土壤表面的。草坪地表的温度是多少摄氏度？ 类型7 比的意义的实际应用 典型例题7：（24-25六年级下·全国·课后作业）用一根长80厘米的铁丝做成一个长方体框架，长与宽的比是2∶1，宽与高的比是1∶2。 （1）这个长方体框架的长、宽、高分别是多少？ （2）用白纸糊上长方体框架的六个面，至少需要白纸多少平方厘米？ 思路分析：（1）根据题意，用一根铁丝做成一个长方体框架，那么铁丝的长度就是长方体框架的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4； 已知长与宽的比是2∶1，宽与高的比是1∶2，因为两个比中宽的份数都是1份，可以组成连比，即长∶宽∶高＝2∶1∶2，把长看作2份，宽看作1份，高看作2份，一共是（2＋1＋2）份； 用长、宽、高之和除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、高的份数，即可求出长、宽、高。 （2）用白纸糊上长方体框架的六个面，求至少需要白纸的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 答题区： 变式训练1：（2024·安徽合肥·小升初真题）为帮助农民解决水果滞销的问题，合肥市举办了“安心助农”的直播活动。第一天卖出的大圩葡萄和三十岗西瓜的箱数比是7∶8，已知大圩葡萄卖出了350箱。三十岗西瓜卖出了多少箱？ 变式训练2：（24-25六年级上·江苏·课后作业）一台机器上有大小两个齿轮，大齿轮有100个齿，每分钟转25周；小齿轮有25个齿，每分钟转100周。 （1）写出大齿轮与小齿轮齿数之比，并求出比值。 （2）写出大齿轮与小齿轮每分钟转的周数之比。并求出比值。 类型8 求比值的实际应用 典型例题8：（24-25六年级上·江苏·假期作业）某工厂去年有职工630人，其中男职工人数占职工总人数的，今年又招进了一批男职工，这时男、女职工人数的比是。今年招进男职工多少人？ 思路分析：把去年职工总人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用去年职工总人数乘就是去年男职工人数，进而求出去年女职工人数。女职工人数没变，看作单位“1”，今年男职工人数占女职工人数的，根据分数乘法的意义用女职工人数乘就是今年男职工人数，再用今年男职工人数减去年男职工人数，就是今年招进男职工人数。 答题区： 变式训练1：（23-24六年级下·江苏扬州·期中）工程队修一段路，先修了这段路的，接着又修了120米，这时已修的长度与剩下长度的比为2∶3，这段路长多少米？ 变式训练2：（20-21六年级上·江苏泰州·期末）食品加工厂用果汁和牛奶配制一种果奶，果汁和牛奶的体积比是5∶3。如果有果汁和牛奶各60升，果汁用完时，牛奶还剩多少升？再有多少升果汁，就可以把牛奶全部用完？ 类型9 比的基本性质的实际应用 典型例题9：（23-24六年级上·山西大同·期中）我国的植树节定于每年的3月12日，植树节是国家规定群众义务植树造林活动的节日。这天参加植树活动的有140人，分成三个小组，已知第一小组和第二小组人数的比是。第二小组和第三小组人数的比是。这三个小组各有多少人？ 思路分析：先把两两小组的人数之比转化为三个小组人数的连比，已知第一小组和第二小组人数的比是2∶3＝8∶12，第二小组和第三小组人数的比是4∶5＝12∶15，可得第一、二、三小组人数之比为8∶12∶15，即第一小组的人数占总人数的，第二小组的人数占总人数的，第三小组的人数占总人数的，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可求解。 答题区： 变式训练1：（23-24六年级上·江苏淮安·期中）建筑队用水泥、黄沙和石子按一定比例配制成混凝土，已知水泥和黄沙的比是2∶3，水泥和石子的比是3∶8。 （1）要配制62吨混凝土，需要石子多少吨？ （2）如果石子足够多，水泥和黄沙各有18吨，配制混凝土时，当黄沙用完时，水泥还剩多少吨？如果要将水泥用完，至少还要补多少吨的黄沙？ 变式训练2：米老鼠和唐老鸭各带了一些钱到超市买文具。米老鼠用去自己的钱，唐老鸭用去自己的钱，这时它们剩下的钱相等。米老鼠和唐老鸭所带的钱数之比是多少？ 类型10 比的化简的实际应用 典型例题10：（24-25六年级上·河南平顶山·期中）合理搭配早餐。 （1）小明今天的早餐是按怎样的比搭配的？ 小明今天的早餐表 面包 鸡蛋 牛奶 100克 50克 200 （2）如果小明的妈妈按同样的比准备420克早餐，算算各种食物分别需要多少克？ 思路分析：（1）从统计表格中获取面包、鸡蛋和牛奶重量，然后写出它们的比，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变化简得出早餐三种食物搭配的比； （2）根据三种食物搭配的比，分别算出面包、鸡蛋和牛奶各自占总量的几分之几，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用420克乘各自占总量的几分之几，求出各种食物分别需要多少克。 答题区： 变式训练1：（23-24六年级下·江苏·课后作业）某商店销售书包的情况如下表。 数量/个 1 2 3 4 5 6 总价/元 78 156 （1）把上面的表格填写完整。写出几组对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。 （2）这个比值表示的意义是什么？用式子表示它与总价和数量之间的关系。 变式训练2：（23-24六年级上·江苏徐州·期中）张仲景是我国东汉末年著名的医学家，被后人尊称为“医圣”。他所著的《伤寒杂病论》中记载的麻杏石甘汤，具有辛凉宣泄，清肺平喘之功效。华佗医院王医生配制的一剂药方如图。按照这个药方配制的180克药中，杏仁有多少克？ 类型11 按比分配问题 典型例题11：（2023·山西太原·小升初真题）水果店运来苹果、梨和香蕉一共450千克，其中运来的梨的质量占三种水果的，运来苹果的质量和香蕉的质量比是2∶1，运来苹果、梨、香蕉各多少千克？ 思路分析：把运来的三种水果的总质量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用450×列式求出运来的梨的质量，再用450减去梨的质量，求出运来的苹果的质量和香蕉的质量和，运来苹果的质量和香蕉的质量比是2∶1，把运来的苹果看作2份，香蕉看作1份，再用运来的苹果的质量和香蕉的质量和除以苹果的质量和香蕉的质量的份数和，求出1份是多少，再分别乘苹果和香蕉的份数即可求出运来苹果、香蕉各多少千克。 答题区： 变式训练1：（2024·山西太原·小升初真题）全国义务教育劳动课程标准出台以后，让学生学会做家务成为新的热门话题。光明小学在端午节来临之际，组织学生进行包粽子比赛，五、六年级代表队一共包了180个粽子，他们包粽子的个数比为4∶5。这两个代表队分别包了多少个粽子？ 变式训练2：（23-24六年级下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙三辆卡车共同运一批苹果，甲车运走了总吨数的，比乙车少运了36吨，乙、丙两车运的吨数比是2∶1，这批苹果共有多少吨？ 类型12 比的应用 典型例题12：（24-25六年级下·江苏南京·期中）6月5日是世界环境日，星华小学组织学生开展宣传活动，已知参加活动的人数在190～200之间，其中男生人数是女生人数的。参加活动的男生有( )人，女生有( )人。 思路分析：根据题意，男生人数是女生人数的，即男生与女生的人数比为4∶5。总人数为4＋5＝9份，因此总人数应是9的倍数。在190～200之间找到9的倍数，即可确定总人数，再按比例分配男生和女生人数。 答题区： 变式训练1：（2024·山西长治·小升初真题）小红看一本书，两天一共看了这本书的。已知第一天看了20页，第一天与第二天看的页数比是5∶6，她第二天看了多少页？这本书有多少页？ 变式训练2：（24-25六年级上·江苏·假期作业）张大爷果园里有苹果树和梨树一共960棵，其中苹果树占总棵数的。后来张大爷又栽种了一些梨树，这时苹果树与梨树的棵数比是。张大爷后来又栽种了多少棵梨树？ 第二部分：难度分层训练 1．（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）三月是“学雷锋主题活动月”。少先队员参加学雷锋志愿活动，男生人数的和女生人数的相等，男女生的人数比是（    ）。 A．3∶2 B．6∶5 C．1∶9 D．5∶6 2．（24-25六年级下·江苏连云港·期中）一批零件，王师傅单独做天完成，李师傅单独做天完成。王师傅和李师傅两人工作效率的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶3 C．3∶4 D．4∶3 3．（25-26六年级上·全国·随堂练习）孔子是中国著名的大思想家、大教育家。传说孔子的弟子有“贤人”72人，约占门下弟子的。传说中孔子门下的弟子约有多少人？ 4．（24-25六年级上·江苏·单元测试）土星是太阳系八大行星之一，它的赤道直径约是12万千米，是木星赤道直径的。木星的赤道直径约是多少万千米？（用方程解） 5．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）六年级有三个班，一班有38人，二班有44人，三班有42人。学校买来62根跳绳，按人数分配给六年级三个班，每班应分得跳绳多少根？ 1．（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）《三国志》是由西晋史学家陈寿所著的一部记载三国时代历史的书籍。该书分为三部分，分别是《魏书》《蜀书》和《吴书》。其中《魏书》的卷数与其他两书之和的比是6∶7，《蜀书》的卷数与其他两书之和的比是3∶10，已知《吴书》有20卷，则《三国志》全书共有( )卷。 2．（24-25六年级下·江苏南京·期中）中国是礼仪之邦，待客倒茶以七分满为宜，即茶水的体积占杯子容量的。明明把升红茶水平均倒入8位客人的空杯子中，每个杯子刚好七分满，每个杯子的红茶有 升，杯子的容积是 升。 3．（24-25六年级下·江苏南京·期中）小红的书橱有三层，上、中、下层的书的本数比是4∶6∶5，已知下层放了60本书，求小红的书橱共放了多少本书？ 4．（24-25六年级下·山西临汾·期末）看，三号活动区的“烧脑分率”挑战赛开始了！今年五月份临汾市中小学生运动会上，侯马小学组拿到了田径赛第一名的好成绩。某学校田径队原来女生人数和总人数的比1∶3，后来有6名女生加入，这时女生人数是田径队现在总人数的。现在田径队有女生多少人？ 5．（2024·江苏宿迁·小升初模拟）某厂有甲、乙两个仓库存放货物。甲仓库和乙仓库存放货物的质量比是7∶3，如果甲仓库运48吨货物到乙仓库，甲乙两仓库的货物就一样多。原来两仓库各有多少货物？ 1．（2025六年级下·全国·专题练习）袋子里红球与白球的个数比是19∶13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比是5∶3，再放入若干只白球后，红球与白球数量之比是13∶11。已知放入的白球比红球多80只。那么原来袋子中有白球（    ）只。 A．360 B．350 C．390 D．400 2．（22-23六年级上·江苏南通·期末）甲、乙均是不为0的自然数，如果甲数的恰好是乙数的，甲、乙两数和是34，那么甲、乙两数的差是 。 3．（23-24六年级下·江苏·课后作业）小芳从家走到学校，当她走到途中的少年宫时，正好走了全程的；放学回家时，小芳沿原路返回，她走到少年宫后又继续向前走了80米，此时正好是全程的一半。小芳家到学校有多少米？ 4．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）数学实验活动课上，张老师让同学们按如下步骤进行操作实验： （1）将甲乙两个长方体形容器盛满水； （2）将两个同样的小正方体铁块用细线拴住，然后轻轻放入甲乙两个容器内，使两个铁块都没入水中，这时甲乙两个容器都有部分水溢出，如图（1）； （3）待水平静后，轻轻将两个小正方体铁块取出，量出这时水面的高度并做好记录，如图（2）。 （1）     （2） 乐乐的实验记录表里有这样的记载： （1）两个容器的容积之和是1600毫升； （2）铁块取出后，甲容器水面的高度是容器高度的，乙容器水面的高度是容器高度的。 请根据以上实验步骤和实验记录写出实验结果，并把你得到实验结果的过程写在下面。（容器壁厚不计）我的实验结果： 5．有三筐同样重的苹果，售货员从这三筐苹果中分别取出了一部分。称一称后，他发现这三筐苹果中一共取出了100千克。同时他还发现甲筐取出的苹果与乙筐中剩下的苹果同样重，丙筐取出的是该筐苹果的，你知道每筐苹果有多少千克吗？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 分数除法 （12个类型题讲练+三大难度分层练 共51题） 第一部分：类型题讲练 2 思路引导 方法点拨 2 应用类型01：“已知总量求分量”的逆运算：已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位“1”） 2 应用类型02：“已知平均一份的量求总量”的逆运算：已知平均数求总和（分数形式的平均数） 3 应用类型03：“求一份是另一份的几分之几”的逆运算：已知具体数量和比例求总量 4 应用类型04：“分数倍”的逆运算：已知A是B的几分之几（或A比B多/少几分之几）和A或B的具体值，求另一个量 5 应用类型05：行程问题（速度、时间、距离关系） 5 解决问题 分类讲练 6 类型1 分数的平均分问题的实际应用 6 类型2 分数与整数的除法的实际应用 8 类型3 分数与分数的除法的实际应用 11 类型4 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 13 类型5 分数的连除运算的实际应用 14 类型6 分数的乘、除法的混合运算的实际应用 16 类型7 比的意义的实际应用 18 类型8 求比值的实际应用 20 类型9 比的基本性质的实际应用 22 类型10 比的化简的实际应用 25 类型11 按比分配问题 28 类型12 比的应用 30 第二部分：难度分层训练 32 A夯实基础 32 B培优拔高 35 C思维拓展 38 第一部分：类型题讲练 应用类型01：“已知总量求分量”的逆运算：已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位“1”） 这是最常见、最核心的应用类型。其本质是：已知部分量及其对应的分率（这个部分量占整体的几分之几），求整体（单位“1”）的量。 问题结构/关键词： “是/相当于谁的几分之几”， “占谁的几分之几”， “一个数的几分之几是多少（已知‘是多少’，求‘这个数’）” 。 数学模型： 部分量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的量 (总量) 分率是指部分量占总量的比例。 示例： 基础型： 小红的体重是爸爸体重的，小红的体重是21千克。爸爸的体重是多少千克？ 思路引导： 这里爸爸的体重是单位“1”（总量），未知。小红的体重（21千克）是爸爸体重的（部分量及其对应分率）。 关系式： 爸爸体重 × = 小红体重 (21千克) 解答过程： 单位“1”（爸爸体重）未知 -> 用除法 -> 爸爸体重 = 21 ÷ = 21 × = 56 (千克) 稍复杂型（连续分率）： 修路队修一条公路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，还剩30千米没修。这条公路全长多少千米？ 思路引导：公路全长是单位“1”。 第一周修了：全长 × -> 余下：全长 × (1 - ) = 全长 × 第二周修了：余下的 -> (全长 × ) × = 全长 × ( × ) = 全长 × 剩下的(30千米)对应分率：全长 - 第一周修的分率 - 第二周修的分率 = 1 - - = - - = 解答过程： 单位“1”（全长）未知 -> 用除法 -> 公路全长 = 30 ÷ = 30 × = 100 (千米) （关键找到30千米对应的单位“1”的分率是） 应用类型02：“已知平均一份的量求总量”的逆运算：已知平均数求总和（分数形式的平均数） 这是平均分概念的延伸，特别是当平均数以分数形式出现时。 问题结构/关键词： “平均分成多少份”， “平均是多少”， “每个是多少”， “然后求原来的总量”。 数学模型： 每份的量 × 总份数 = 总量 -> 平均数 (即每份的量) × 份数 = 总量 难点在于平均数可能是分数。 示例： 基础型： 把一些糖果平均分给6个小朋友，每个小朋友分得千克。这些糖果一共有多少千克？ 思路引导：总数（糖果总重） ÷ 小朋友数（6） = 每个小朋友分得重量 (千克) 关系式： 糖果总重 = 每个小朋友的重量 × 小朋友人数 解答过程： × 6 = = = 4.5 (千克) （这里用了乘法，本质是整数乘分数） 分数除法核心应用型（与类型一结合）： 用桶水正好装满了一个容量为4升的水盆。一桶水有多少升？ 思路引导：“桶水” 是部分量（4升），求“一桶水”（单位“1”）是多少升。这是典型的“已知单位‘1’的几分之几是多少，求单位‘1’”。 关系式：一桶水 × = 4升 解答过程：一桶水 = 4 ÷ = 4 × = 10 (升) （本质是类型一） 应用类型03：“求一份是另一份的几分之几”的逆运算：已知具体数量和比例求总量 这种类型本质上也是求单位“1”的量，只是表述上侧重数量和比例的对应关系。 问题结构/关键词： “其中一部分...求整体”， “一部分是...另一部分是...”， “比例关系”。 数学模型： 具体数量 ÷ 该数量对应的分率 = 单位“1”的量 (总量) 示例： 基础型： 学校合唱队男生有15人，是女生人数的。合唱队一共有多少人？ 思路引导： 男生人数（15人）相当于女生人数的。这里女生人数是单位“1”（“谁的”中的“谁”）。 关系式1（先求女生）： 女生人数 × = 15人 -> 女生人数 = 15 ÷ = 15 × = 20 (人) 关系式2（再求总数）： 总人数 = 男生 + 女生 = 15 + 20 = 35 (人) 或者（比例法）： 男生:女生 = 3:4, 总份数3+4=7份。男生15人对应3份。每份人数：15 ÷ 3 = 5（人）。总人数：5 × 7 = 35（人）。但分数除法核心思路还是数量÷对应分率=单位1。 单位转换（隐含）： 一袋大米吃了，还剩下12千克。这袋大米原有多少千克？ 思路引导：大米总量是单位“1”。吃了，剩下1 - = 。剩下的12千克对应的就是总量的。 关系式： 总量 × = 12千克 解答过程： 总量 = 12 ÷ = 12 × = 30 (千克) （还是类型一） 应用类型04：“分数倍”的逆运算：已知A是B的几分之几（或A比B多/少几分之几）和A或B的具体值，求另一个量 当涉及到倍数关系时，特别需要弄清楚“谁”是单位“1”。 问题结构/关键词： “A是B的几分之几”（求B，B是单位“1”）, “A比B多（或少）几分之几”（求B，B是单位“1”）。 数学模型： A = B × (分率) -> B = A ÷ (分率) A = B × (1 ± 分率) -> B = A ÷ (1 ± 分率) 示例： 是几分之几： 小明的身高是爸爸身高的。小明的身高是120厘米，爸爸的身高是多少厘米？ 思路引导： 爸爸身高（单位“1”）的等于小明的身高（120厘米）。 解答过程：爸爸身高 = 120 ÷ = 120 × = 150 (厘米) （本质又是类型一） 比...多/少几分之几： 一个工厂实际生产零件1800个，比原计划多生产了。原计划生产零件多少个？ 思路引导：原计划产量（单位“1”）。实际比计划多，所以实际是计划的(1 + ) = 。实际数量1800个对应的就是计划的。 关系式： 原计划 × (1 + ) = 1800 -> 原计划 × = 1800 解答过程： 原计划 = 1800 ÷ = 1800 × = 1500 (个) 应用类型05：行程问题（速度、时间、距离关系） 在行程问题中，当速度以分数形式表示时，可能会用到分数除法求距离或时间。 数学模型： 距离 = 速度 × 时间 速度 = 距离 ÷ 时间 时间 = 距离 ÷ 速度 示例： 求时间： 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶小时行驶了多少千米？ (80 × = 60 - 这是分数乘法) 分数除法应用： 一辆汽车用小时行驶了40千米。这辆汽车的速度是每小时多少千米？ 思路引导：求速度（千米/小时），公式：速度 = 路程 ÷ 时间 解答过程：速度 = 40 ÷ = 40 × = 60 (千米/小时) 求路程（单位1，但结合速度）： 一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的，这时离甲地有54千米。甲乙两地相距多少千米？ 思路引导： 两地距离是单位“1”。已经行了全程的，那么离甲地的距离（54千米）对应的就是全程的（因为是从甲地出发的）。 解答过程：全程距离 = 54 ÷ = 54 × = 135 (千米) （本质还是类型一） 类型1 分数的平均分问题的实际应用 典型例题1：（20-21六年级上·福建三明·期中）林华看一本120页的文艺书，3天看了这本书的。 （1）林华平均每天看这本书的几分之几？ （2）这本书还剩下多少页没有看？ 思路分析： （1）根据分数平均分的意义，列式计算即可。 （2）把总页数看成单位“1”，用1减去求出剩下这本书的几分之几，再用总页数乘这个分率即可求出这本书还剩下多少页没有看。 答题区： （1） 答：林华平均每天看这本书的。 （2） ＝ ＝48（页） 答：这本书还剩下48页没有看。 【考点剖析】解答此类问题，首先找清单位“1”；进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好地解答问题。 变式训练1：（2021六年级上·江苏·专题练习）张强看一本故事书，4天看了这本书的，张强平均每天看这本书的几分之几？照这样算，他8天能看完这本书吗？ 【答案】；能 【思路引导】把这本故事书的总页数看作单位“1”（1）平均每天看的分率＝看了的占全书的分率÷天数； （2）“平均每天看的分率×8天”结果和单位“1”比较大小即可。 【规范解答】（1）÷4 ＝× ＝ （2）×8＝ 因为＞1，所以他8天能看完这本书。 答：张强平均每天看这本书的，他8天能看完这本书。 【考点剖析】掌握分数乘除法的计算方法是解答题目的关键。 变式训练2：（21-22六年级上·全国·课后作业）小明的妈妈买回一袋水果糖，重kg，分给小明和他的4个好朋友，平均每人分多少千克？ 【答案】kg 【思路引导】已知小明的妈妈买回一袋水果糖，重kg，分给小明和他的4个好朋友，求平均每人分多少千克，也就是把kg平均分成5份，求每份的数用除法即可。 【规范解答】4＋1＝5（人） （kg） 答：平均每人分千克。 【考点剖析】本题考查平均分，明确用总量除以份数是关键。 类型2 分数与整数的除法的实际应用 典型例题2：（24-25六年级下·江苏连云港·期中）中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天，东海县的黑夜时间是白昼的。白昼和黑夜分别是多少小时？ 思路分析： 一天有24小时，黑夜时间是白昼的，那么白昼时间看作单位“1”，一天的时间相当于白昼时间的（1＋）倍。用一天的总时长除这个倍数可得到白昼时间，再用白昼时间乘得到黑夜时间。据此解答。 答题区： 白昼时间： 24÷（1＋） ＝24÷ ＝24× ＝15（小时） 黑夜时间： 15×＝9（小时） 答：白昼是15小时和黑夜是9小时。 变式训练1：（2024·江苏常州·小升初真题）（1）鲜达美水果店的山东樱桃每千克32元，王阿姨买了12千克，如果再买3千克山东樱桃，一共的钱才够买6千克车厘子。车厘子的单价是多少元/千克？ （2）星期一鲜达美水果店樱桃的销量是果香水果店的，星期二鲜达美水果店比果香水果店多售出35千克樱桃，两家店这两天樱桃的总销量相同。星期一果香水果店售出多少千克樱桃？ 【答案】（1）80元/千克；（2）84千克 【思路引导】（1）根据单价×数量＝总价，先求出王阿姨买山东樱桃的总价是32×（12＋3），然后根据，用这些钱除以买车厘子的数量即可求出车厘子的单价。 （2）此题关键是需要找准单位“1”，星期一果香水果店的销量为单位“1”，则鲜达美水果店樱桃的销量是，可知星期一鲜达美水果店樱桃的销量比果香水果店的销量少1－＝；星期二鲜达美水果店樱桃的销量比果香水果店多售出35千克樱桃；两家店这两天樱桃的总销量相同，则说明35千克樱桃刚好是星期一鲜达美水果店樱桃的销量比果香水果店的销量少的数量，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用星期一鲜达美水果店樱桃的销量比果香水果店的销量少的数量除以其对应的分率即可得解。 【规范解答】（1）32×（12＋3） ＝32×15 ＝480（元） 480÷6＝80（元/千克） 答：车厘子的单价是80元/千克。 （2）1－＝ 35÷＝35×＝84（千克） 答：星期一果香水果店售出84千克樱桃。 变式训练2：（2024·江苏常州·小升初真题）学校“幸福农场”共收获茄子和番茄120个，准备送给西新社区老年公寓的爷爷奶奶。如果送出茄子的，则剩下的茄子和番茄个数相等。幸福农场原来收获茄子和番茄各有多少个？（先把线段图补充完整，再解答） 【思路引导】根据题意，把茄子的数量看作单位“1”，平均分成5份；其中的3份与番茄相等，据此画出图形。 设茄子原来有x个，如果送出茄子的，则剩下的茄子和番茄个数相等，剩下的茄子个数是（1－）x个，即番茄的个数；茄子和番茄120个；列方程：x＋（1－）x＝120，解方程，即可解答。 【规范解答】如图： 解：设茄子原来有x个，则番茄有（1－）x个。 x＋（1－）x＝120 x＋x＝120 x＝120 x＝120÷ x＝120× x＝75 番茄：（1－）×75 ＝×75 ＝45（个） 答：幸福农场原来收获茄子75个，番茄有45个。 类型3 分数与分数的除法的实际应用 典型例题3：（24-25六年级上·江苏连云港·期中）一瓶升的饮料。如果倒入甲种型号的杯子，可以倒杯；如果倒入乙种型号的杯子可以倒杯，哪种杯子的容积大一些？请用你喜欢的方式说明理由。 思路分析：用饮料的体积除以倒的杯数，求出甲乙两种型号杯子的容积，再比较大小即可。 答题区： 甲杯：（升） 乙杯：（升） ，所以，甲种型号杯子容积大一些。 答：甲种型号杯子容积大一些。 变式训练1：（24-25六年级上·安徽合肥·期中）随着物流迅猛发展，人工智能参与其中，快递从人工分拣走向自动分拣。一种自动分拣系统小时可以分拣万件货物。照这样计算，小时可以分拣多少万件货物？ 【答案】万件 【思路引导】根据工作总量÷工作时间＝工作效率，工作效率×工作时间＝工作总量。由题意知：自动分拣系统小时可以分拣万件货物，则小时是它的工作时间，万件货物是它的工作总量，用除以先计算出这个分拣系统的工作效率，即每小时可以分拣多少件货物，再乘小时，即可计算出小时可以分拣多少万件货物。据此解答。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝（万件） 答：小时可以分拣万件货物。 变式训练2：（2021五年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发。沿同一公路追赶前面的一个行人，为三辆车分别用6分钟，10分钟，12分钟追上这个行人，已知甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米，则丙车每小时行多少千米？ 【答案】19千米 【思路引导】6分＝时，10分＝时，12分＝时，根据速度差×时间＝路程差可知6分钟内，甲车比乙车多行：（24－20）×＝0.4千米，这也是6分钟后，乙车和行人之间的距离。乙车又用了－时追上了行人，则乙车比行人速度快：0.4÷（－）＝6千米，所以，行人的速度：20－6＝14千米/时，原来与行人之间的距离为：（24－14）×＝1千米，则丙车的速度比行人多：1÷＝5千米/时，丙车速度为：14＋5＝19千米/时。 【规范解答】6分＝时，10分＝时，12分＝时， 乙车比行人速度快： （24－20）×÷（－） ＝4×÷ ＝6（千米） 行人的速度：20－6＝14（千米/时） 原来与行人之间的距离为： [24－（20－6）]× ＝[24－14]× ＝1（千米） 丙车的速度比行人多：1÷＝5（千米/时） 则丙车速度为：14＋5＝19（千米/时） 答：丙车每小时行19千米。 【考点剖析】此题考查的是追及问题，解答此题关键是先根据速度差×时间＝路程差求出甲车追上行人时，乙车和行人的距离是完成本题的关键。 类型4 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 典型例题4：（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）果园里梨树的棵数是苹果树的。如果梨树有200棵，那么苹果树有( )棵；如果两种果树一共有260棵，那么梨树有( )棵。 思路分析：把苹果树棵数看作单位“1”。已知梨树棵数是苹果树的，梨树有200棵，用200除以即可得到苹果树的棵数。 由于梨树棵数是苹果树的，＝5∶8，将苹果树棵数视为8份，梨树棵数是5份，两种树总份数为5＋8＝13份。每份的数量为260÷13＝20（棵），梨树占5份，所以用20乘5即可解答。 答题区： （棵） ＝5∶8 5＋8＝13（份） 260÷13＝20（棵） 20×5＝100（棵） 如果梨树有200棵，那么苹果树有320棵；如果两种果树一共有260棵，那么梨树有100棵。 变式训练1：（23-24六年级下·江苏南京·期末）五月份第一车间与第二车间的产量比是4∶7，第一车间与第三车间的产量比是5∶3。若五月份第二车间生产1400件产品，则五月份第三车间生产多少件产品？ 【答案】480件 【思路引导】由题可知，第一车间的产量是第二车间的，已知五月份第二车间的产量是1400件，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可求出五月份第一车间的产量，又知第一车间的产量是第三车间的。根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，进而求得五月份第三车间的产量。 【规范解答】1400×＝800（件）   800÷＝800×＝480（件） 答：五月份第三车间生产480件产品。 变式训练2：（24-25六年级上·江苏盐城·期末）我们赖以生存的地球，体积约为1.08万亿立方公里，在这颗蓝色星球上，有七大洲，四大洋，亿万生命。七大洲分别是亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋洲和南极洲，其中最小的是大洋洲，面积约为900万平方千米。欧洲的面积是大洋洲的，是北美洲的。北美洲的面积大约是多少万平方千米？ 【答案】2400万平方千米 【思路引导】已知A是B的几分之几，则A＝B×几分之几；已知A是B（未知）的几分之几，则B＝A÷几分之几，据此解答。 【规范解答】900×÷ ＝900×× ＝1000× ＝2400（万平方千米） 答：北美洲的面积大约是2400万平方千米。 类型5 分数的连除运算的实际应用 典型例题5：（24-25六年级上·河南平顶山·期中）为解决社区居民买菜难的问题，某蔬菜供应商从农户家里共收购80吨大白菜，是胡萝卜的，收购的胡萝卜是芹菜的，收购芹菜（    ）吨。 A．98 B．108 C．116 D．232 思路分析：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，将胡萝卜的质量看作单位“1”，胡萝卜的质量＝大白菜的质量÷大白菜的质量占胡萝卜质量的分率，将芹菜的质量看作单位“1”，芹菜的质量＝胡萝卜的质量÷胡萝卜的质量占芹菜质量的分率，据此解答。 答题区： 根据分析： 80÷÷ ＝80×× ＝96× ＝108（吨） 所以，收购芹菜108吨。 故答案为：B 变式训练1：（24-25六年级上·江苏·课后作业）一块地有公顷，用3台拖拉机来耕，小时可以耕完。平均每台拖拉机每小时耕地多少公顷？ 【答案】公顷 【思路引导】先用求出3台拖拉机1小时耕地的面积，再用求出每台拖拉机每小时耕地的面积。 【规范解答】 （公顷） 答：平均每台拖拉机每小时耕地公顷。 变式训练2：（23-24六年级上·安徽合肥·期中）油是一种重要的营养物质，但是如果吃油过多就会给健康带来不利影响。中国营养学会建议每人每天食用油的摄入量不超过千克。王明家3口人15天吃完一瓶重千克的食用油。我家平均每人每天的食用油摄入量超过标准了吗？ 【答案】超过标准了 【思路引导】将这瓶油的质量除以15，求出3口人每天的食用油摄入量。再将3口人每天的食用油摄入量除以3，求出平均每人每天的食用油摄入量。将平均每人每天的食用油摄入量和千克做对比，得出结论即可。 【规范解答】÷15÷3 ＝×÷3 ＝× ＝（千克） ＞ 答：王明家平均每人每天的食用油摄入量超过的实际应用标准了。 类型6 分数的乘、除法的混合运算的实际应用 典型例题6：（24-25六年级上·江苏徐州·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，“蚂蚁森林”的工作人员在西北某沙漠种植了一批需水量较低的树木。其中种植了600棵胡杨，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，是沙棘棵数的。工作人员种植了多少棵沙棘树？ 思路分析：求一个数的几分之几是多少用乘法，据此用胡杨的棵树乘即可求出沙柳的棵树，再根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法，用沙柳的棵树除以即可得到沙棘的棵树。 答题区： 600×÷ ＝500× ＝400（棵） 答：工作人员种植了400棵沙棘树。 变式训练1：（24-25六年级上·海南海口·期中）学校举行数独比赛，获得三等奖的有45人，获得一等奖的人数是获得三等奖的，获得一等奖的人数是二等奖的，获得二等奖的有多少人？ 【答案】20人 【思路引导】先以获三等奖的人数为单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用45×即可求出获得一等奖的人数。再以获二等奖的人数为单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用一等奖的人数÷即可求出获得二等奖的人数。 【规范解答】45×÷ ＝15× ＝20（人） 答：获得二等奖的有20人。 变式训练2：（24-25六年级上·江苏淮安·期中）据检测，在炎热的夏天，城市的沥青路面的温度高达55摄氏度，沥青路面的温度是土壤表面的，而草坪地表的温度是土壤表面的。草坪地表的温度是多少摄氏度？ 【答案】32摄氏度 【思路引导】把土壤表面的温度看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；用沥青路面的温度除以，计算出土壤表面的温度；再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；用土壤表面的温度乘，所得结果即为草坪地表的温度。 【规范解答】 （摄氏度） 答：草坪地表的温度是32摄氏度。 类型7 比的意义的实际应用 典型例题7：（24-25六年级下·全国·课后作业）用一根长80厘米的铁丝做成一个长方体框架，长与宽的比是2∶1，宽与高的比是1∶2。 （1）这个长方体框架的长、宽、高分别是多少？ （2）用白纸糊上长方体框架的六个面，至少需要白纸多少平方厘米？ 思路分析：（1）根据题意，用一根铁丝做成一个长方体框架，那么铁丝的长度就是长方体框架的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4； 已知长与宽的比是2∶1，宽与高的比是1∶2，因为两个比中宽的份数都是1份，可以组成连比，即长∶宽∶高＝2∶1∶2，把长看作2份，宽看作1份，高看作2份，一共是（2＋1＋2）份； 用长、宽、高之和除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、高的份数，即可求出长、宽、高。 （2）用白纸糊上长方体框架的六个面，求至少需要白纸的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 答题区： （1）长、宽、高之和：80÷4＝20（厘米） 由长∶宽＝2∶1，宽∶高＝1∶2，可得长∶宽∶高＝2∶1∶2； 一份数： 20÷（2＋1＋2） ＝20÷5 ＝4（厘米） 长：4×2＝8（厘米） 宽：4×1＝4（厘米） 高：4×2＝8（厘米） 答：这个长方体框架的长是8厘米，宽是4厘米，高是8厘米。 （2）（8×4＋8×8＋4×8）×2 ＝（32＋64＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：至少需要白纸256平方厘米。 变式训练1：（2024·安徽合肥·小升初真题）为帮助农民解决水果滞销的问题，合肥市举办了“安心助农”的直播活动。第一天卖出的大圩葡萄和三十岗西瓜的箱数比是7∶8，已知大圩葡萄卖出了350箱。三十岗西瓜卖出了多少箱？ 【答案】400箱 【思路引导】把卖出的大圩葡萄箱数看作单位“1”，则三十岗西瓜的箱数是大圩葡萄的。根据分数乘法的意义，用卖出的大圩葡萄的箱数乘就是三十岗西瓜卖出的箱数。 【规范解答】350×＝400（箱） 答：三十岗西瓜卖出了400箱。 变式训练2：（24-25六年级上·江苏·课后作业）一台机器上有大小两个齿轮，大齿轮有100个齿，每分钟转25周；小齿轮有25个齿，每分钟转100周。 （1）写出大齿轮与小齿轮齿数之比，并求出比值。 （2）写出大齿轮与小齿轮每分钟转的周数之比。并求出比值。 【答案】（1）4∶1；4 （2）1∶4； 【思路引导】（1）根据题意，用大齿轮的个数比上小齿轮的个数，即为100∶25，用比的前项除以比的后项即可。 （2）根据题意，用大齿轮转的周数比上小齿轮转的周数，即为25∶100，用比的前项除以比的后项即可。 【规范解答】（1）100∶25=4∶1 100∶25 ＝100÷25               ＝4 答：大齿轮与小齿轮齿数之比为4∶1，比值为4。 （2）25∶100=1∶4 25∶100 ＝25÷100 ＝ 答：大齿轮与小齿轮每分钟转的周数之比为1∶4，比值为。 类型8 求比值的实际应用 典型例题8：（24-25六年级上·江苏·假期作业）某工厂去年有职工630人，其中男职工人数占职工总人数的，今年又招进了一批男职工，这时男、女职工人数的比是。今年招进男职工多少人？ 思路分析：把去年职工总人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用去年职工总人数乘就是去年男职工人数，进而求出去年女职工人数。女职工人数没变，看作单位“1”，今年男职工人数占女职工人数的，根据分数乘法的意义用女职工人数乘就是今年男职工人数，再用今年男职工人数减去年男职工人数，就是今年招进男职工人数。 答题区： （人） （人） 答：今年招进男职工120人。 变式训练1：（23-24六年级下·江苏扬州·期中）工程队修一段路，先修了这段路的，接着又修了120米，这时已修的长度与剩下长度的比为2∶3，这段路长多少米？ 【答案】1800米 【思路引导】把这段路的全长看作单位“1”，先修了这段路的，接着又修了120米，这时已修的长度与剩下长度的比为2∶3，即这时已修的长度占全长的，那么又修的120米占全长的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义解答，求出这段路的全长。 【规范解答】120÷（－） ＝120÷（－） ＝120÷（－） ＝120÷ ＝120×15 ＝1800（米） 答：这段路长1800米。 变式训练2：（20-21六年级上·江苏泰州·期末）食品加工厂用果汁和牛奶配制一种果奶，果汁和牛奶的体积比是5∶3。如果有果汁和牛奶各60升，果汁用完时，牛奶还剩多少升？再有多少升果汁，就可以把牛奶全部用完？ 【答案】24升；40升 【思路引导】根据果汁和牛奶的体积比是5∶3，可知果汁占牛奶的，牛奶占果汁的；已知果汁60升，用60×，求出果汁用完，需要用牛奶的体积，再用60减去60×，求出牛奶还剩多少升；再用剩下的牛奶×，求出还需要多少果汁。 【规范解答】60－60× ＝60－36 ＝24（升） 24×＝40（升） 答：牛奶还剩24升，再由40升果汁，就可以把牛奶全部用完。 【考点剖析】本题考查按照比例分配问题，比与分数的关系，求一个数的几分之几是多少。 类型9 比的基本性质的实际应用 典型例题9：（23-24六年级上·山西大同·期中）我国的植树节定于每年的3月12日，植树节是国家规定群众义务植树造林活动的节日。这天参加植树活动的有140人，分成三个小组，已知第一小组和第二小组人数的比是。第二小组和第三小组人数的比是。这三个小组各有多少人？ 思路分析：先把两两小组的人数之比转化为三个小组人数的连比，已知第一小组和第二小组人数的比是2∶3＝8∶12，第二小组和第三小组人数的比是4∶5＝12∶15，可得第一、二、三小组人数之比为8∶12∶15，即第一小组的人数占总人数的，第二小组的人数占总人数的，第三小组的人数占总人数的，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可求解。 答题区： 第一小组和第二小组人数的比是2∶3＝8∶12 第二小组和第三小组人数的比是4∶5＝12∶15 第一、二、三小组人数之比为8∶12∶15 140× ＝140× ＝32（人） 140× ＝140× ＝48（人） 140× ＝140× ＝60（人） 答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。 变式训练1：（23-24六年级上·江苏淮安·期中）建筑队用水泥、黄沙和石子按一定比例配制成混凝土，已知水泥和黄沙的比是2∶3，水泥和石子的比是3∶8。 （1）要配制62吨混凝土，需要石子多少吨？ （2）如果石子足够多，水泥和黄沙各有18吨，配制混凝土时，当黄沙用完时，水泥还剩多少吨？如果要将水泥用完，至少还要补多少吨的黄沙？ 【答案】（1）32吨 （2）6吨；9吨 【思路引导】（1）比的前项和后项同时乘或除以同一个不为零的数，比值不变，据此求出水泥、黄沙、石子三者之比。根据按比例分配的解题方法，需要石子的质量＝混凝土的总质量×石子质量占混凝土的几分之几。 （2）水泥和黄沙的比是2∶3，把水泥看2份，黄沙看成3份，18÷3求出一份的量，再乘2，即可求出18吨黄沙用完需要多少吨水泥，再用18吨减去所用水泥吨数，求出剩多少吨水泥。 同理，水泥和黄沙的比是2∶3，把水泥看2份，黄沙看成3份，18÷2求出一份的量，再乘3，即可求出18吨水泥用完需要多少吨黄沙，再用黄沙的质量减去18吨就是还需要补多少吨黄沙。 【规范解答】（1）水泥和黄沙的比是2∶3，即黄沙和水泥的比是3∶2。 3∶2＝（3×3）∶（2×3）＝9∶6 水泥和石子的比是3∶8； 3∶8＝（3×2）∶（8×2）＝6∶16 则黄沙、水泥、石子之比是9∶6∶16。 62× ＝62× ＝32（吨） 答：需要石子32吨。 （2）水泥和黄沙的比是2∶3 18÷3×2＝12（吨） 水泥还剩：18－12＝6（吨） 18÷2×3＝27（吨） 黄沙还需：27－18＝9（吨） 答：当黄沙用完时，水泥还剩6吨。如果要将水泥用完，至少还要补9吨的黄沙。 【考点剖析】解题的关键是要找到配制混凝土的水泥、黄沙、石子三者之比，再根据按比例分配问题的解题思路，利用分数乘法解答。也可以把比看作份数，求出一份数，再用一份数乘相应的份数求解。 变式训练2：米老鼠和唐老鸭各带了一些钱到超市买文具。米老鼠用去自己的钱，唐老鸭用去自己的钱，这时它们剩下的钱相等。米老鼠和唐老鸭所带的钱数之比是多少？ 【答案】3∶4 【规范解答】1－＝ 1－＝ ∶＝3∶4 答：米老鼠和唐老鸭所带钱数之比是3∶4。 类型10 比的化简的实际应用 典型例题10：（24-25六年级上·河南平顶山·期中）合理搭配早餐。 （1）小明今天的早餐是按怎样的比搭配的？ 小明今天的早餐表 面包 鸡蛋 牛奶 100克 50克 200 （2）如果小明的妈妈按同样的比准备420克早餐，算算各种食物分别需要多少克？ 思路分析：（1）从统计表格中获取面包、鸡蛋和牛奶重量，然后写出它们的比，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变化简得出早餐三种食物搭配的比； （2）根据三种食物搭配的比，分别算出面包、鸡蛋和牛奶各自占总量的几分之几，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用420克乘各自占总量的几分之几，求出各种食物分别需要多少克。 答题区： （1）面包∶鸡蛋∶牛奶＝100∶50∶200＝（100÷50）∶（50÷50）∶（200÷50）＝2∶1∶4 答：小明今天的早餐是按2∶1∶4搭配的。 （2）面包：420× ＝420× ＝120（克） 鸡蛋：420× ＝420× ＝60（克） 牛奶：420× ＝420× ＝240（克） 答：三种食物分别需要120克、60克、240克。 变式训练1：（23-24六年级下·江苏·课后作业）某商店销售书包的情况如下表。 数量/个 1 2 3 4 5 6 总价/元 78 156 （1）把上面的表格填写完整。写出几组对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。 （2）这个比值表示的意义是什么？用式子表示它与总价和数量之间的关系。 【答案】（1）表格见详解；见详解；比值相等 （2）书包的单价；单价＝总价÷数量 【思路引导】（1）用总价除以数量求出书包的单价，再分别用书包的单价乘数量求出总价，据此填写表格；分别写出前三组对应的总价和数量的比，根据求比值的方法：用比的前项除以比的后项，求出比值，并比较比值的大小； （2）这个比值表示的意义是书包的总价与数量的比，即比值表示书包的单价，单价＝总价÷数量，据此解答即可。 【规范解答】 数量/个 1 2 3 4 5 6 总价/元 78 156 234 312 390 468 78∶1＝78，156∶2＝78，234∶3＝78 它们的比值都是78，即比值相等； （2）比值表示的是书包的单价；用式子表示就是单价＝总价÷数量。 变式训练2：（23-24六年级上·江苏徐州·期中）张仲景是我国东汉末年著名的医学家，被后人尊称为“医圣”。他所著的《伤寒杂病论》中记载的麻杏石甘汤，具有辛凉宣泄，清肺平喘之功效。华佗医院王医生配制的一剂药方如图。按照这个药方配制的180克药中，杏仁有多少克？ 【答案】36克 【思路引导】根据麻黄6克，杏仁9克，石膏24克，甘草6克，得出四种药的比为6∶9∶24∶6，化简为最简整数比是2∶3∶8∶2，再按比例分配得出杏仁占了。 【规范解答】6∶9∶24∶6＝2∶3∶8∶2 180× ＝180× ＝36（克） 答：杏仁有36克。 类型11 按比分配问题 典型例题11：（2023·山西太原·小升初真题）水果店运来苹果、梨和香蕉一共450千克，其中运来的梨的质量占三种水果的，运来苹果的质量和香蕉的质量比是2∶1，运来苹果、梨、香蕉各多少千克？ 思路分析：把运来的三种水果的总质量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用450×列式求出运来的梨的质量，再用450减去梨的质量，求出运来的苹果的质量和香蕉的质量和，运来苹果的质量和香蕉的质量比是2∶1，把运来的苹果看作2份，香蕉看作1份，再用运来的苹果的质量和香蕉的质量和除以苹果的质量和香蕉的质量的份数和，求出1份是多少，再分别乘苹果和香蕉的份数即可求出运来苹果、香蕉各多少千克。 答题区： 450×＝90（千克） 450－90＝360（千克） 360÷（2＋1） ＝360÷3 ＝120（千克） 120×2＝240（千克） 120×1＝120（千克） ＝120（千克） 答：苹果的质量是240千克，梨的质量是90千克，香蕉的质量是120千克。 变式训练1：（2024·山西太原·小升初真题）全国义务教育劳动课程标准出台以后，让学生学会做家务成为新的热门话题。光明小学在端午节来临之际，组织学生进行包粽子比赛，五、六年级代表队一共包了180个粽子，他们包粽子的个数比为4∶5。这两个代表队分别包了多少个粽子？ 【答案】五年级：80个；六年级100个 【思路引导】五、六年级代表队包粽子的个数比为4∶5，把五年级代表队完成粽子的个数看作4份，六年级代表队完成粽子的个数看作5份，两个代表队一共（4＋5）份，用五年级代表队包的占总数的，求五年级代表包的个数，再用总数减去五年级代表包的个数，就是六年级代表包的粽子数。 【规范解答】180× ＝180× ＝80（个） 180－80＝100（个） 答：五年级代表队包了80个粽子，六年级代表队包了100个粽子。 变式训练2：（23-24六年级下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙三辆卡车共同运一批苹果，甲车运走了总吨数的，比乙车少运了36吨，乙、丙两车运的吨数比是2∶1，这批苹果共有多少吨？ 【答案】84吨 【思路引导】将这批苹果总吨数看作单位“1”，甲车运走了总吨数的，则乙丙运走了总吨数的（1－），将比的前后项看成份数，乙丙对应分率和÷总份数，求出一份数，一份数×乙对应份数＝乙运走总吨数的几分之几，甲乙两车运走吨数的差÷对应分率差＝总吨数，据此列式解答。 【规范解答】（1－）÷（2＋1） ＝÷3 ＝× ＝ ×2＝ 36÷（－） ＝36÷ ＝36× ＝84（吨） 答：这批苹果共有84吨。 【考点剖析】关键是掌握按比分配问题的解题方法，确定乙的对应分率，根据分数除法的意义求出总吨数。 类型12 比的应用 典型例题12：（24-25六年级下·江苏南京·期中）6月5日是世界环境日，星华小学组织学生开展宣传活动，已知参加活动的人数在190～200之间，其中男生人数是女生人数的。参加活动的男生有( )人，女生有( )人。 思路分析：根据题意，男生人数是女生人数的，即男生与女生的人数比为4∶5。总人数为4＋5＝9份，因此总人数应是9的倍数。在190～200之间找到9的倍数，即可确定总人数，再按比例分配男生和女生人数。 答题区： ＝4∶5 4＋5＝9（份） 9×21＝189（＜190，不符合）。 9×22＝198（190＜198＜200，符合）。 人数是198人。 男生： 198÷9×4 ＝22×4 ＝88（人） 女生：198－88＝110（人） 月5日是世界环境日，星华小学组织学生开展宣传活动，已知参加活动的人数在190～200之间，其中男生人数是女生人数的。参加活动的男生有88人，女生有110人。 变式训练1：（2024·山西长治·小升初真题）小红看一本书，两天一共看了这本书的。已知第一天看了20页，第一天与第二天看的页数比是5∶6，她第二天看了多少页？这本书有多少页？ 【答案】24页；100页 【思路引导】第一天与第二天看的页数比是5∶6，即第二天看的页数是第一天的，用第一天看的页数×，求出第二天看的页数；再把第一天看到页数与第二天看的页数相加，求出两天一共看的页数；把这本书的总页数看作单位“1”，两天一共看了这本书的，对应的是两天一共看的页数，求单位“1”，用两天一共看的页数÷，即可求出这本数的总页数，据此解答。 【规范解答】20×＝24（页） （20＋24）÷ ＝44÷ ＝44× ＝100（页） 答：她第二天看了24页，这本书有100页。 变式训练2：（24-25六年级上·江苏·假期作业）张大爷果园里有苹果树和梨树一共960棵，其中苹果树占总棵数的。后来张大爷又栽种了一些梨树，这时苹果树与梨树的棵数比是。张大爷后来又栽种了多少棵梨树？ 【答案】40棵 【思路引导】根据题意，将原来苹果树和梨树的总棵树看作为单位“1”，首先用总棵数乘苹果树占总棵数的分率，求出苹果树的棵数，进而求出原来梨树的棵数，再用苹果树的棵数除以苹果树占的份数，求出一份的棵数，再乘2，求出现在梨树的棵数，再用现在梨树的棵数减去原来梨树的棵数，即可求出又栽种梨树的棵数。 【规范解答】苹果树∶（棵） 梨树∶（棵） （棵） （棵） 答：张大爷后来又栽种了40棵梨树。 第二部分：难度分层训练 1．（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）三月是“学雷锋主题活动月”。少先队员参加学雷锋志愿活动，男生人数的和女生人数的相等，男女生的人数比是（    ）。 A．3∶2 B．6∶5 C．1∶9 D．5∶6 【答案】B 【思路引导】3和5的最小公倍数是，所以假设男生人数是30人，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数的方法，男生人数乘再除以即可求出女生人数，再求男女生人数比并化简即可。 【规范解答】假设男生人数有30人 女生： （人） 故男女生人数比是。 故答案为：B 2．（24-25六年级下·江苏连云港·期中）一批零件，王师傅单独做天完成，李师傅单独做天完成。王师傅和李师傅两人工作效率的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶3 C．3∶4 D．4∶3 【答案】C 【思路引导】假设工作总量为1，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出王师傅的工作效率和李师傅的工作效率，再根据比的意义化简求出他们工作效率的最简整数比，据此解答。 【规范解答】假设工作总量为1。 王师傅的工作效率：1÷ ＝1×3 ＝3 李师傅的工作效率：1÷ ＝1×4 ＝4 王师傅的工作效率∶李师傅的工作效率＝3∶4。 所以，王师傅和李师傅两人工作效率的比是3∶4。 故答案为：C 3．（25-26六年级上·全国·随堂练习）孔子是中国著名的大思想家、大教育家。传说孔子的弟子有“贤人”72人，约占门下弟子的。传说中孔子门下的弟子约有多少人？ 【答案】（人） 【思路引导】把孔子门下弟子总人数看作单位“1”，根据“部分量÷对应比例=总量”，即用贤人人数除以它占门下弟子的分率，可求出孔子门下弟子的总人数。 【规范解答】答：传说中孔子门下的弟子约有3000人。 4．（24-25六年级上·江苏·单元测试）土星是太阳系八大行星之一，它的赤道直径约是12万千米，是木星赤道直径的。木星的赤道直径约是多少万千米？（用方程解） 【答案】14万千米 【思路引导】由题意可知，把木星赤道直径看作单位“1”，设木星赤道直径为x万千米，根据等量关系式木星赤道直径×＝土星赤道直径，据此列方程解答。 【规范解答】解：设木星赤道直径为x万千米。 答：木星的赤道直径约是14万千米。 5．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）六年级有三个班，一班有38人，二班有44人，三班有42人。学校买来62根跳绳，按人数分配给六年级三个班，每班应分得跳绳多少根？ 【答案】一班、二班、三班分别分得跳绳19根、22根、21根 【思路引导】根据题意，先求出三个班的人数比，从而求出各班分到的跳绳之比，最后按比分配跳绳的数量。先求出总份数，用天生总数量除以总份数，求出每份跳绳数量，再分别乘各个班级对应的份数，求出各个班级分得跳绳数量。据此解答即可。 【规范解答】38：44：42＝19：22：21 19＋22＋21＝62 62÷62＝1（根） 一班：1×19＝19（根） 二班：1×22＝22（根） 三班：1×21＝21（根） 答：一班、二班、三班分别分得跳绳19根、22根、21根。 1．（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）《三国志》是由西晋史学家陈寿所著的一部记载三国时代历史的书籍。该书分为三部分，分别是《魏书》《蜀书》和《吴书》。其中《魏书》的卷数与其他两书之和的比是6∶7，《蜀书》的卷数与其他两书之和的比是3∶10，已知《吴书》有20卷，则《三国志》全书共有( )卷。 【答案】65 【思路引导】已知《魏书》卷数与其他两书之和的比是6∶7，则《魏书》卷数占全书总卷数的比例为（）。已知《蜀书》卷数与其他两书之和的比是3∶10，则《蜀书》卷数占全书总卷数的比例为（）。因此，《吴书》卷数占全书总卷数的比例为，又已知《吴书》有20卷，用20除以即可解答。 【规范解答】把《三国志》全书看作单位“1”。 20÷ ＝20÷ ＝20÷ ＝20× ＝65（卷） 《三国志》全书共有65卷。 2．（24-25六年级下·江苏南京·期中）中国是礼仪之邦，待客倒茶以七分满为宜，即茶水的体积占杯子容量的。明明把升红茶水平均倒入8位客人的空杯子中，每个杯子刚好七分满，每个杯子的红茶有 升，杯子的容积是 升。 【答案】 /0.1 【思路引导】已知明明把升红茶水平均倒入8位客人的空杯子中，用红茶的总体积除以杯子数，得到每个杯子中红茶的体积。 已知茶水的体积占杯子容量的，把杯子的容量看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出杯子的容积，据此解答。 【规范解答】（升） （升） 即每个杯子的红茶有升，杯子的容积是升。 3．（24-25六年级下·江苏南京·期中）小红的书橱有三层，上、中、下层的书的本数比是4∶6∶5，已知下层放了60本书，求小红的书橱共放了多少本书？ 【答案】 180本 【思路引导】根据上、中、下层的书本数比为4∶6∶5，可知下层对应的5份是60本。先求出每份的数量，再乘以总份数（4＋6＋5），即可得到总书数。 【规范解答】 （本） 答：小红的书橱共放了180本书。 4．（24-25六年级下·山西临汾·期末）看，三号活动区的“烧脑分率”挑战赛开始了！今年五月份临汾市中小学生运动会上，侯马小学组拿到了田径赛第一名的好成绩。某学校田径队原来女生人数和总人数的比1∶3，后来有6名女生加入，这时女生人数是田径队现在总人数的。现在田径队有女生多少人？ 【答案】16人 【思路引导】根据题意，男生人数前后没有变化，是不变量。原来女生人数和总人数的比1∶3，则可假设总人数为3份，女生人数是1份，则男生人数是2份，所以原来女生人数是男生人数的；现在女生人数是田径队现在总人数的，可假设总人数为9份，女生人数是5份，则男生人数是5份，所以现在女生人数是男生人数的；两者之间相差的分率就对应着新加入的6名女生，可以先求出男生人数，再求出现在女生的人数。据此解答。 【规范解答】1÷（3－1） ＝1÷2 ＝ 4÷（9－5） ＝4÷5 ＝ 6÷（－） ＝6÷ ＝6× ＝20（人） 20×＝16（人） 答：现在田径队有女生16人。 5．（2024·江苏宿迁·小升初模拟）某厂有甲、乙两个仓库存放货物。甲仓库和乙仓库存放货物的质量比是7∶3，如果甲仓库运48吨货物到乙仓库，甲乙两仓库的货物就一样多。原来两仓库各有多少货物？ 【答案】甲仓库有168吨货物，乙仓库有72吨货物 【思路引导】已知甲仓库运48吨货物到乙仓库，两仓库货物就一样多，这说明原来甲仓库比乙仓库多的货物质量为48×2＝96吨；因为甲仓库和乙仓库存放货物的质量比是7∶3，那么甲仓库比乙仓库多的份数为7－3＝4份，而这多的4份对应的实际质量就是96吨，所以1份的质量为96÷4＝24吨；甲仓库货物质量占7份，所以甲仓库原来的货物质量为24×7＝168吨，乙仓库货物质量占3份，所以乙仓库原来的货物质量为24×3＝72吨。 【规范解答】48×2＝96（吨） 96÷（7－3） ＝96÷4 ＝24（吨） 24×7＝168（吨） 24×3＝72（吨） 答：原来甲仓库有168吨货物，乙仓库有72吨货物。 1．（2025六年级下·全国·专题练习）袋子里红球与白球的个数比是19∶13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比是5∶3，再放入若干只白球后，红球与白球数量之比是13∶11。已知放入的白球比红球多80只。那么原来袋子中有白球（    ）只。 A．360 B．350 C．390 D．400 【答案】C 【思路引导】已知原来红球与白球的个数比是19∶13，可知原来红球的个数是白球的，可以设原来袋子里有只白球，则原来袋子里有红球 只； 放入若干只红球后，红球与白球数量之比是5∶3，此时白球的数量仍是只，而红球的数量变成 只，则放入的红球数量是（ － ）只； 再放入若干只白球后，红球与白球数量之比是13∶11，此时红球数量是白球的；已知放入的白球比红球多80只，即放入的白球数量是（ － ＋80）只，再加上原来白球的数量只，即是白球的总数量； 根据等量关系：红球的总数量＝白球的总数量×，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设原来袋子里有只白球，则原来袋子里有红球 只。 ＝×（＋ － ＋80） ＝×（＋ － ＋80） ＝×（ ＋80） ÷＝ ＋80 ×＝ ＋80 ＝ ＋80 － ＝80 ＝80 ＝80÷ ＝80× ＝390 那么原来袋子中有白球390只。 故答案为：C 【考点剖析】本题的数量关系较复杂，把比转化成分数，得出每一次数量变化时，红球的数量与白球的数量之间的关系是解题的关键。 2．（22-23六年级上·江苏南通·期末）甲、乙均是不为0的自然数，如果甲数的恰好是乙数的，甲、乙两数和是34，那么甲、乙两数的差是 。 【答案】14 【思路引导】根据题意，甲数的恰好是乙数的，即甲数×＝乙数×，由此可得：甲数∶乙数＝∶，化简比后得甲数∶乙数＝5∶12，可以把甲数看作5份，乙数看作12份，一共是（5＋12）份，相差（12－5）份； 已知甲、乙两数和是34，用甲乙两数的和除以（5＋12），求出一份数，再用一份数乘（12－5），即可求出甲、乙两数的差。 【规范解答】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶＝（×15）∶（×15）＝5∶12 一份数： 34÷（5＋12） ＝34÷17 ＝2 甲、乙两数的差： 2×（12－5） ＝2×7 ＝14 所以，甲、乙两数的差是14。 【考点剖析】关键是先求出甲、乙两数的最简整数比，再根据比的应用，把比看作份数，求出一份数，进而求出两数的差。 3．（23-24六年级下·江苏·课后作业）小芳从家走到学校，当她走到途中的少年宫时，正好走了全程的；放学回家时，小芳沿原路返回，她走到少年宫后又继续向前走了80米，此时正好是全程的一半。小芳家到学校有多少米？ 【答案】1120米 【思路引导】把从家到学校的距离看成单位“1”，从家到少年宫是全程的 ，那么从学校到少年宫就是全程的（1－） ，因为“小芳走到少年宫后又继续向前走了80米，此时正好是全程的一半”，所以全程的比从学校到少年宫（1－）的路程多80米，由此用除法求出全程。 【规范解答】1－ ＝ 80÷（－） ＝80÷ ＝1120（米） 答：小芳家到学校有1120米。 【考点剖析】本道题主要考查了分数除法的应用，解答本题的关键是找出单位“1”，并找出单位“1”的几分之几对应的数量，用部分量除以所对应的分率即可求出单位“1”的量。 4．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）数学实验活动课上，张老师让同学们按如下步骤进行操作实验： （1）将甲乙两个长方体形容器盛满水； （2）将两个同样的小正方体铁块用细线拴住，然后轻轻放入甲乙两个容器内，使两个铁块都没入水中，这时甲乙两个容器都有部分水溢出，如图（1）； （3）待水平静后，轻轻将两个小正方体铁块取出，量出这时水面的高度并做好记录，如图（2）。 （1）     （2） 乐乐的实验记录表里有这样的记载： （1）两个容器的容积之和是1600毫升； （2）铁块取出后，甲容器水面的高度是容器高度的，乙容器水面的高度是容器高度的。 请根据以上实验步骤和实验记录写出实验结果，并把你得到实验结果的过程写在下面。（容器壁厚不计）我的实验结果： 【答案】甲容器容积600毫升；乙容器容积1000毫升；过程见详解 【思路引导】因为甲乙两个长方体形容器都盛满水，因此溢出的水的体积相同，将两个小正方体铁块取出，水面下降的体积也相同；由此可知，甲容器容积的（1－）＝乙容器容积的（1－），求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲容器容积×（1－）＝乙容器容积×（1－）＝1，根据积÷因数＝另一个因数，分别计算甲容器和乙容器容积，根据比的意义，写出甲容器和乙容器的容积比，将比的前后项看成份数，两个容器的容积之和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘甲容器和乙容器的对应份数，即可求出两个容器的容积。溢出的水的体积不确定，无法得出小正方体铁块的体积，据此分析。 【规范解答】假设甲容器容积×（1－）＝乙容器容积×（1－）＝1 甲容器容积：1÷（1－）＝1÷＝3 乙容器容积：1÷（1－）＝1÷＝5 甲容器和乙容器的容积比：3∶5 1600÷（3＋5） ＝1600÷8 ＝200（毫升） 甲容器容积：200×3＝600（毫升） 乙容器容积：200×5＝1000（毫升） 答：甲容器容积是600毫升，乙容器容积是1000毫升。 【考点剖析】关键是理解甲乙两个容器容积之间的关系，确定两个容器的容积比，根据按比分配问题的解题方法求出两个容器的容积。 5．有三筐同样重的苹果，售货员从这三筐苹果中分别取出了一部分。称一称后，他发现这三筐苹果中一共取出了100千克。同时他还发现甲筐取出的苹果与乙筐中剩下的苹果同样重，丙筐取出的是该筐苹果的，你知道每筐苹果有多少千克吗？ 【答案】80千克 【思路引导】三筐同样重的苹果，甲筐取出的苹果与乙筐中剩下的苹果同样重，即从甲、乙两筐合取了一整筐，将每筐苹果的重量看作单位“1”，根据三筐苹果中一共取出了100千克，可知100千克对应的分率是1＋，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法。 【规范解答】100÷（1＋） ＝100÷ ＝80（千克） 答：每筐苹果有80千克。 【考点剖析】本题考查分数除法的应用，关键是求出100千克对应的分率，再根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法求解。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$