第03课：21.2解一元二次方程-公式法 讲义- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第03课 第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程-公式法人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点01 一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程的一般式，我们也可以用配方法进行配方： ∵当时，该方程才有实数根，且， ∴ 方程才有实数根 1、一元二次方程根的判别式是 2、表示:通常用希腊字母“△”表示,即 ； 3、一元二次方程实数根的情况 △的符号 根的情况 方程有 实数根 方程有 实数根 方程 实数根 【注意】 （1）一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根. 此时b2－4ac≥0,切勿丢掉等号 （2）当一元二次方程有两个相等的实数根时，不说方程只有一个实数根. （3）当a ,c异号时，一元二次方程一定有 的实数根. 4、一元二次方程实数根的情况判断△： 一元二次方程根的情况 △的符号 一元二次方程有实数根 一元二次方程有两个实数根 一元二次有两个不相等的实数根 一元二次没有实数根 知识点02 求根公式及公式法 对于一元二次方程进行配方可得到一元二次方程的求根公式： 推导过程： 【注意】 （1）一元二次方程的求根公式的应用条件是 ,且 . （2）用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根. 用公式法解一元二次方程的步骤： 步骤 示例： 解释 1、化为一般式 移项： 先将方程化为一般式（a≠0） 2、确定a、b、c 确定a、b、c时， 要注意带前面的 3、计算△ 当△ 时，才能用求根公式； 当△ ，则方程没有实数根 4、代入公式求根 ∵△ ， ∴方程有 考点01 由根的判别式判断方程根的情况 例题1.在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程有           的根； 在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程有           的根； 在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程有           的根； 在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程根的情况是          ． 【答案】(1)1 ;2;－3; 两个不相等 (2)1 ;－4;4; 两个相等 (3)4 ;0;－3; 两个不相等 (4)1   ;－1;1;－3;无实数根  变式1（1）.下列是对方程的根的情况的判断，正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而得出方程有两个相等的实数根． 【解答】 解：，，， ， 方程有两个相等的实数根． 故选：． 变式1（2）.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A  变式1（3）.对于任意实数，关于的方程的根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键． 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了． 【解答】 解：在关于的方程中， ，，， ． 方程有有两个不相等的实数根． 故选：． 变式1（4）.方程根的情况(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 无实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 根据根的判别式即可求出答案． 【解答】 解：由题意可知：， 方程有两个相等的实数根． 故选：． 考点02 根据根的情况求参数范围 例题2.若关于的一元二次方程有两个实数根，则 的取值范围是    ． A. B. C. 且 D.   且 【答案】C  【解析】解：一元二次方程  有两个实数根，  ，  ，   是一元二次方程，  ，   且 ，故选C． 结合题意，根据一元二次方程及其判别式的性质，经计算即可得到答案． 变式2（1）.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】解：根据题意得且， 解得且； 故选：． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 变式2（2）.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式2（3）.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C.  且 D. 且 【答案】A  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 则根的判别式， 解得，， 故选A． 变式2（4）.若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  变式2（5）.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 【答案】  变式2（6）.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  变式2（7）.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是          ． 【答案】  考点03 公式法解一元二次方程 例题3.用公式法解方程． 解：将方程化为一般形式，得          ，           ，           ，           ．           ．                      ．           ． 【答案】； ； ； ； ； ； ； ， 变式3（1）.用公式法解一元二次方程时，，的值是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  变式3（2）.用公式法解方程时，求得的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式3（3）.用公式法解方程，得到(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式3（4）.用公式法解方程，分步填空：           ，           ，           ；           ；           ；           ，           ． 【答案】(1)2    ;;-3  (2)44  (3)  (4)     ;  变式3（5）.用公式法解方程： ； ； ； ． 【答案】(1)，  (2)，  (3)，  (4)，  考点04 公式法的其他应用 例题4.已知关于的一元二次方程． 求证：此方程总有两个实数根； 若此方程有一个根大于且小于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵=[-（k+1）]2-4（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0， ​​​​​​​∴此方程总有两个实数根.  (2)解：由（1）知=（k-3）2， ∴解此方程得x==， ①当k≥3时，x=，即x1=k-1≥2，x2=2，不合题意，舍去； ②当k＜3时，x=，即x1=k-1，x2=2， 由题意可知0＜x1＜1，即0＜k-1＜1， ∴. 综上所述，若此方程有一个根大于0且小于1，则的取值范围为.  变式4（1）.已知关于的一元二次方程，其中根的判别式的值为，求的值及方程的根． 【答案】由题意，得，即，解得，易知，．原方程为，解得，  变式4（2）.已知关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 【答案】关于的方程有实数根，，解得．为正整数，．原方程可化为，解得  变式4（3）.解方程时，有一名同学的解答如下： ，，，．，即，． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】解答有错误正确的解答过程：原方程化为．，，，．，即，  一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是下列哪个一元二次方程的根(    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D  3.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A  【解析】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 根据一元二次方程根的判别式解答即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 4.方程的两根是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： ，，， ． 故选B． 本题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选择方法是关键用公式法解答，首先找出，，，计算，最后代入公式即可． 5.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．解之即可． 【解答】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， 解得：且． 故选D． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为          ． 【答案】  7.在方程中，           ，           ，           ；           ，方程的两根为           ，           ． 【答案】;;;;  8.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  【解析】【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且，则可求得的取值范围． 【解答】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得，且． 的取值范围是：且． 故答案为且． 9.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】本题考查根的判别式，根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 10.已知关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.解方程用公式法解一元二次方程 （1）． 【答案】，．  （2）． 【答案】，．  （3） 【答案】，．  （4） 【答案】，．  12.已知关于的一元二次方程． 求证：这个方程总有两个实数根； 若等腰三角形的一边的长为，另两边，的长恰好是这个方程的两个实数根，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)，这个方程总有两个实数根  (2)分两种情况讨论：①若，为腰，则方程有两个相等的实数根.，即，解得.原方程为，解得，即.，这种情况不合题意，舍去.②若为腰，则，中有一边为腰.是关于的一元二次方程的一个根.把代入原方程，得，解得.原方程为，解得，.，等腰三角形的周长为  13.已知，，是的三条边长，且方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 【答案】是直角三角形．  14.关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】解：当，即时，此方程为关于的一元二次方程，关于的方程有实数根，，解得，即且；当，即时，方程为，显然有根综上，的取值范围是．  15.当为何值时，关于的一元二次方程． 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根． 【答案】(1)解：.  ，，，且； (2)，，；  (3)，，.  附加题.已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】(1)解：，该方程总有两个实数根；  (2)一元二次方程的根为，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03课 第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程-公式法人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点01 一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程的一般式，我们也可以用配方法进行配方： ∵当时，该方程才有实数根，且， ∴ 方程才有实数根 1、一元二次方程根的判别式是. 2、表示:通常用希腊字母“△”表示,即； 3、一元二次方程实数根的情况 △的符号 根的情况 方程有2个不相等的实数根 方程有2个相等的实数根 方程没有实数根 【注意】 （1）一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根. 此时b2－4ac≥0,切勿丢掉等号 （2）当一元二次方程有两个相等的实数根时，不说方程只有一个实数根. （3）当a ,c异号时，一元二次方程一定有两个不相等的实数根. 4、一元二次方程实数根的情况判断△： 一元二次方程根的情况 △的符号 一元二次方程有实数根 一元二次方程有两个实数根 一元二次有两个不相等的实数根 一元二次没有实数根 知识点02 求根公式及公式法 对于一元二次方程进行配方可得到一元二次方程的求根公式： 推导过程： 【注意】 （1）一元二次方程的求根公式的应用条件是,且. （2）用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根. 用公式法解一元二次方程的步骤： 步骤 示例： 解释 1、化为一般式 移项： 先将方程化为一般式（a≠0） 2、确定a、b、c 确定a、b、c时， 要注意带前面的符号 3、计算△ 当△≥0时，才能用求根公式； 当△＜0，则方程没有实数根 4、代入公式求根 ∵△＞0，∴方程有2个不相等的实数根 考点01 由根的判别式判断方程根的情况 例题1.在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程有           的根； 在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程有           的根； 在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程有           的根； 在方程中，          ，          ，          ，由于          ，因此方程根的情况是          ． 【答案】(1)1 ;2;－3; 两个不相等 (2)1 ;－4;4; 两个相等 (3)4 ;0;－3; 两个不相等 (4)1   ;－1;1;－3;无实数根  变式1（1）.下列是对方程的根的情况的判断，正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而得出方程有两个相等的实数根． 【解答】 解：，，， ， 方程有两个相等的实数根． 故选：． 变式1（2）.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A  变式1（3）.对于任意实数，关于的方程的根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键． 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了． 【解答】 解：在关于的方程中， ，，， ． 方程有有两个不相等的实数根． 故选：． 变式1（4）.方程根的情况(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 无实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 根据根的判别式即可求出答案． 【解答】 解：由题意可知：， 方程有两个相等的实数根． 故选：． 考点02 根据根的情况求参数范围 例题2.若关于的一元二次方程有两个实数根，则 的取值范围是    ． A. B. C. 且 D.   且 【答案】C  【解析】解：一元二次方程  有两个实数根，  ，  ，   是一元二次方程，  ，   且 ，故选C． 结合题意，根据一元二次方程及其判别式的性质，经计算即可得到答案． 变式2（1）.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】解：根据题意得且， 解得且； 故选：． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 变式2（2）.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式2（3）.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C.  且 D. 且 【答案】A  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 则根的判别式， 解得，， 故选A． 变式2（4）.若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  变式2（5）.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 【答案】  变式2（6）.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  变式2（7）.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是          ． 【答案】  考点03 公式法解一元二次方程 例题3.用公式法解方程． 解：将方程化为一般形式，得          ，           ，           ，           ．           ．                      ．           ． 【答案】； ； ； ； ； ； ； ， 变式3（1）.用公式法解一元二次方程时，，的值是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  变式3（2）.用公式法解方程时，求得的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式3（3）.用公式法解方程，得到(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式3（4）.用公式法解方程，分步填空：           ，           ，           ；           ；           ；           ，           ． 【答案】(1)2    ;;-3  (2)44  (3)  (4)     ;  变式3（5）.用公式法解方程： ； ； ； ． 【答案】(1)，  (2)，  (3)，  (4)，  考点04 公式法的其他应用 例题4.已知关于的一元二次方程． 求证：此方程总有两个实数根； 若此方程有一个根大于且小于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵=[-（k+1）]2-4（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0， ​​​​​​​∴此方程总有两个实数根.  (2)解：由（1）知=（k-3）2， ∴解此方程得x==， ①当k≥3时，x=，即x1=k-1≥2，x2=2，不合题意，舍去； ②当k＜3时，x=，即x1=k-1，x2=2， 由题意可知0＜x1＜1，即0＜k-1＜1， ∴. 综上所述，若此方程有一个根大于0且小于1，则的取值范围为.  变式4（1）.已知关于的一元二次方程，其中根的判别式的值为，求的值及方程的根． 【答案】由题意，得，即，解得，易知，．原方程为，解得，  变式4（2）.已知关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 【答案】关于的方程有实数根，，解得．为正整数，．原方程可化为，解得  变式4（3）.解方程时，有一名同学的解答如下： ，，，．，即，． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】解答有错误正确的解答过程：原方程化为．，，，．，即，  一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是下列哪个一元二次方程的根(    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D  3.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A  【解析】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 根据一元二次方程根的判别式解答即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 4.方程的两根是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： ，，， ． 故选B． 本题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选择方法是关键用公式法解答，首先找出，，，计算，最后代入公式即可． 5.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．解之即可． 【解答】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， 解得：且． 故选D． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为          ． 【答案】  7.在方程中，           ，           ，           ；           ，方程的两根为           ，           ． 【答案】;;;;  8.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  【解析】【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且，则可求得的取值范围． 【解答】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得，且． 的取值范围是：且． 故答案为且． 9.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】本题考查根的判别式，根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 10.已知关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.解方程用公式法解一元二次方程 （1）． 【答案】，．  （2）． 【答案】，．  （3） 【答案】，．  （4） 【答案】，．  12.已知关于的一元二次方程． 求证：这个方程总有两个实数根； 若等腰三角形的一边的长为，另两边，的长恰好是这个方程的两个实数根，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)，这个方程总有两个实数根  (2)分两种情况讨论：①若，为腰，则方程有两个相等的实数根.，即，解得.原方程为，解得，即.，这种情况不合题意，舍去.②若为腰，则，中有一边为腰.是关于的一元二次方程的一个根.把代入原方程，得，解得.原方程为，解得，.，等腰三角形的周长为  13.已知，，是的三条边长，且方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 【答案】是直角三角形．  14.关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】解：当，即时，此方程为关于的一元二次方程，关于的方程有实数根，，解得，即且；当，即时，方程为，显然有根综上，的取值范围是．  15.当为何值时，关于的一元二次方程． 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根． 【答案】(1)解：.  ，，，且； (2)，，；  (3)，，.  附加题.已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】(1)解：，该方程总有两个实数根；  (2)一元二次方程的根为，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$