第02课：21.2解一元二次方程-直接开平方法和配方法 讲义- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第02课 第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程-直接开平方法和配方法人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点01 直接开方法 1、直接开平方法的解读 开平方 解读 若 则 解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程. 直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即开平方,转化为两个一元一次方程。 2、方程x2=p的根的情况 p的取值 方程x2=p的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 【注意】 （1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况. （2）对于形如的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得 ，即； （3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解. （4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。 知识点02 配方法 1、配方法的目的： 对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式： 2、配方法的依据： 完全平方公式： 【配方五步法】 1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数. 2、化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1. 3、配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式. 4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程无解. 5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解. 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 一次项系数一半的平方 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 或 即 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 知识点03 配方法的应用 配方法的应用是基于，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明； 举例： 证明： 的值恒为正； 第一步 将二次项系数作为公因数提出来 第二步 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数 第三步 将前三项因式分解，剩余常数放到括号外 考点01 直接开方法 例题1.用直接开平方法解方程： ；；；． 【答案】(1)解：．∴．∴，．  (2)4(x-2)2＝36，∴(x-2)2＝9．∴x-2＝±3．∴x1＝5，x2＝-1．  (3)写成平方的形式，得(x+3)2＝7．∴．∴，．  (4)9x2＝-3．∴．∴方程无实数解．  变式1（1）.下列方程能用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式1（2）.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式1（3）.用直接开平方的方法解方程做法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法，关键是掌握直接开方法解一元二次方程．一元二次方程，直接开方即可求解． 【解答】 解：开方得：， 故选：． 变式1（4）.若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是          ． 【答案】  变式1（5）.用直接开平方法解下列方程： ；；；． 【答案】(1)解：x2＝16，x1＝4，x2＝-4．  (2)，，．  (3)3x+2＝±5，x1＝1，．  (4)，，，．  考点02 配方法 例题2.完成下面的解题过程： 用配方法解方程：． 解：移项，得________________________． 配方，得______________________． 即____________． 开平方，得____________． ____________，____________． 【答案】；；；；；．  【解析】【试题解析】 【分析】 本题考查的是解一元二次方程有关知识，首先对该方程配方，然后再进行计算． 【解答】 解：移项，得：， 配方，得：， 即， 开平方，得：，  ，． 故答案为，，，，，． 变式2（1）.若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2（2）.用配方法解方程时，配方后正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2（3）.用配方法解下列方程 【答案】解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； 方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； 配方得：，即， 开方得：， 解得：，．  【解析】各方程整理后，利用配方法求出解即可． 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键． 变式2（4）.若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为          ． 【答案】  【解析】， 移项，得， 配方，得， ． 方程配方后得到， ，，，． 变式2（5）.用配方法解下列方程： ． 【答案】解：， ， ， ， ， ，． ， ， ， ， ， ， ，． ， ， ， ， ， ，．  【解析】本题主要考查配方法解一元二次方程熟练掌握配方法的步骤和方法是解题的关键． 利用配方法解方程即可； 利用配方法解方程即可； 利用配方法解方程即可． 考点03 配方法的应用 例题3.对于任意实数，多项式的值为(    ) A. 非正数 B. 正数 C. 负数 D. 【答案】B  【解析】，，对于任意实数，多项式的值为正数． 变式3（1）.无论，为何值，代数式的值总是  (    ) A. 非负数 B. 正数 C. D. 负数 【答案】B  【解析】，，故选B． 变式3（2）.已知代数式的值是(    ) A. 负数 B. 非正数 C. 非负数 D. 正数 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式，偶次方非负数的性质，属于基础题． 根据完全平方公式变形成非负数和的形式是解题的关键．先根据完全平方公式进行变形，再根据偶次方的非负性进行判断． 【解答】 解： ， ，， ， 故的值一定是正数． 故选：． 变式3（3）.若，，则，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解： ， ，， ， 即， ． 故选：． 利用作差法和配方法作答即可． 本题考查了配方法的应用，能够运用作差法比较两个数的大小，结合非负数的性质比较大小是解答本题的关键． 变式3（4）.已知为任意实数，则、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 不能确定 【答案】C  【解析】【分析】此题考查的是整式的加减以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，并能正确的对代数式进行配方是解答此类题的关键． 可令，将所得代数式配成完全平方式，再根据非负数的性质来判断所得代数式的符号，进而得出、的大小关系． 【解答】 解：由题意，知：； 由于，所以； 因此，即． 故选C． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若关于的方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.下列方程能用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：方程，用公式法和配方法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； B.方程，用公式法和配方法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； C.方程，用因式分解法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； D.方程能直接用开平方法求解，故本选项符合题意． 故选：． 根据直接开平方法的特点逐个判断即可． 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 3.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由原方程，得 ， ， 则， 故选A． 先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4.若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.用配方法解一元二次方程时，变形后的结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】根据能用直接开平方法求解的一元二次方程特征即可解决问题． 解：因为关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知能用直接开平方法求解的一元二次方程特征是解题的关键． 7.用直接开平方法解方程时，可转化为两个一元一次方程，分别是          ． 【答案】，  8.一元二次方程配方可变形为          ． 【答案】  9.方程的解为          ． 【答案】，  10.填空：                      ；                     ；                     ；                     ． 【答案】(1)64;8  (2)49;7  (3);​​​​​​​  (4);​​​​​​​  三、解答题：本题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.用直接开平方法解下列方程： ；；； ；；． 【答案】(1)解：， ；  (2)，， ；  (3)，，， ；  (4)或，， ；  (5)，或，， ；  (6)，或，，.  12.用配方法解下列方程： ． 【答案】解：二次项系数化为，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得或， ，． 原方程可化为， 二次项系数化为，得， 配方，得 即， 由此可得或， ，． 二次项系数化为，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得或， ，．  【解析】【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键配方法解一元二次方程的步骤为一移：将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边二化：若二次项系数不为，则方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程的左边配成一个完全平方式四开：如果方程的右边是非负数，就用直接开平方法求出方程的根如果方程的右边是负数，则这个方程无实数根． 根据配方法的步骤解方程即可； 根据配方法的步骤解方程即可； 根据配方法的步骤解方程即可． 13.若的值与的值互为相反数，求的值． 【答案】解：由题意可得，，的值为或．  14.下面是小明同学对二次三项式进行配方的过程：请指明配方过程是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程． 【答案】解：不正确．正确的配方过程：．  15.阅读下面的解答过程，在横线上填入恰当的内容，解方程：． 解：移项，得两边同时除以，得配方，得，即．， 上述过程中开始出现错误的是步骤________填序号，原因是________________________，请写出正确的解答过程． 【答案】配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加移项，得两边同时除以，得配方，得．．．，  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02课 第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程-直接开平方法和配方法人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点01 直接开方法 1、直接开平方法的解读 开平方 解读 若 则 解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为 . 直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即 ,转化为两个一元一次方程。 2、方程x2=p的根的情况 p的取值 方程x2=p的根的情况 【注意】 （1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的 ，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况. （2）对于形如的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得 ，即 ； （3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解. （4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。 知识点02 配方法 1、配方法的目的： 对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式： 2、配方法的依据： 完全平方公式： 【配方五步法】 1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数. 2、化1:方程的两边同除以 ,把二次项系数化为1. 3、配方:在方程的两边同时加上 ,化成(x+m)2=n的形式. 4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程 . 5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解. 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 知识点03 配方法的应用 配方法的应用是基于，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明； 举例： 证明： 的值恒为正； 第一步 将二次项系数作为公因数提出来 第二步 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数 第三步 将前三项因式分解，剩余常数放到括号外 考点01 直接开方法 例题1.用直接开平方法解方程： ；；；． 【答案】(1)解：．∴．∴，．  (2)4(x-2)2＝36，∴(x-2)2＝9．∴x-2＝±3．∴x1＝5，x2＝-1．  (3)写成平方的形式，得(x+3)2＝7．∴．∴，．  (4)9x2＝-3．∴．∴方程无实数解．  变式1（1）.下列方程能用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式1（2）.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式1（3）.用直接开平方的方法解方程做法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法，关键是掌握直接开方法解一元二次方程．一元二次方程，直接开方即可求解． 【解答】 解：开方得：， 故选：． 变式1（4）.若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是          ． 【答案】  变式1（5）.用直接开平方法解下列方程： ；；；． 【答案】(1)解：x2＝16，x1＝4，x2＝-4．  (2)，，．  (3)3x+2＝±5，x1＝1，．  (4)，，，．  考点02 配方法 例题2.完成下面的解题过程： 用配方法解方程：． 解：移项，得________________________． 配方，得______________________． 即____________． 开平方，得____________． ____________，____________． 【答案】；；；；；．  【解析】【试题解析】 【分析】 本题考查的是解一元二次方程有关知识，首先对该方程配方，然后再进行计算． 【解答】 解：移项，得：， 配方，得：， 即， 开平方，得：，  ，． 故答案为，，，，，． 变式2（1）.若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2（2）.用配方法解方程时，配方后正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2（3）.用配方法解下列方程 【答案】解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； 方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； 配方得：，即， 开方得：， 解得：，．  【解析】各方程整理后，利用配方法求出解即可． 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键． 变式2（4）.若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为          ． 【答案】  【解析】， 移项，得， 配方，得， ． 方程配方后得到， ，，，． 变式2（5）.用配方法解下列方程： ． 【答案】解：， ， ， ， ， ，． ， ， ， ， ， ， ，． ， ， ， ， ， ，．  【解析】本题主要考查配方法解一元二次方程熟练掌握配方法的步骤和方法是解题的关键． 利用配方法解方程即可；利用配方法解方程即可；利用配方法解方程即可． 考点03 配方法的应用 例题3.对于任意实数，多项式的值为(    ) A. 非正数 B. 正数 C. 负数 D. 【答案】B  【解析】，，对于任意实数，多项式的值为正数． 变式3（1）.无论，为何值，代数式的值总是  (    ) A. 非负数 B. 正数 C. D. 负数 【答案】B  【解析】，，故选B． 变式3（2）.已知代数式的值是(    ) A. 负数 B. 非正数 C. 非负数 D. 正数 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式，偶次方非负数的性质，属于基础题． 根据完全平方公式变形成非负数和的形式是解题的关键．先根据完全平方公式进行变形，再根据偶次方的非负性进行判断． 【解答】 解： ， ，， ， 故的值一定是正数． 故选：． 变式3（3）.若，，则，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解： ， ，， ， 即， ． 故选：． 利用作差法和配方法作答即可． 本题考查了配方法的应用，能够运用作差法比较两个数的大小，结合非负数的性质比较大小是解答本题的关键． 变式3（4）.已知为任意实数，则、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 不能确定 【答案】C  【解析】【分析】此题考查的是整式的加减以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，并能正确的对代数式进行配方是解答此类题的关键． 可令，将所得代数式配成完全平方式，再根据非负数的性质来判断所得代数式的符号，进而得出、的大小关系． 【解答】 解：由题意，知：； 由于，所以； 因此，即． 故选C． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若关于的方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.下列方程能用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：方程，用公式法和配方法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； B.方程，用公式法和配方法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； C.方程，用因式分解法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； D.方程能直接用开平方法求解，故本选项符合题意． 故选：． 根据直接开平方法的特点逐个判断即可． 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 3.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由原方程，得 ， ， 则， 故选A． 先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4.若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.用配方法解一元二次方程时，变形后的结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】根据能用直接开平方法求解的一元二次方程特征即可解决问题． 解：因为关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知能用直接开平方法求解的一元二次方程特征是解题的关键． 7.用直接开平方法解方程时，可转化为两个一元一次方程，分别是          ． 【答案】，  8.一元二次方程配方可变形为          ． 【答案】  9.方程的解为          ． 【答案】，  10.填空：                      ；                     ；                     ；                     ． 【答案】(1)64;8  (2)49;7  (3);​​​​​​​  (4);​​​​​​​  三、解答题：本题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.用直接开平方法解下列方程： ；；； ；；． 【答案】(1)解：， ；  (2)，， ；  (3)，，， ；  (4)或，， ；  (5)，或，， ；  (6)，或，，.  12.用配方法解下列方程： ． 【答案】解：二次项系数化为，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得或， ，． 原方程可化为， 二次项系数化为，得， 配方，得 即， 由此可得或， ，． 二次项系数化为，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得或， ，．  【解析】【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键配方法解一元二次方程的步骤为一移：将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边二化：若二次项系数不为，则方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程的左边配成一个完全平方式四开：如果方程的右边是非负数，就用直接开平方法求出方程的根如果方程的右边是负数，则这个方程无实数根． 根据配方法的步骤解方程即可； 根据配方法的步骤解方程即可； 根据配方法的步骤解方程即可． 13.若的值与的值互为相反数，求的值． 【答案】解：由题意可得，，的值为或．  14.下面是小明同学对二次三项式进行配方的过程：请指明配方过程是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程． 【答案】解：不正确．正确的配方过程：．  15.阅读下面的解答过程，在横线上填入恰当的内容，解方程：． 解：移项，得两边同时除以，得配方，得，即．， 上述过程中开始出现错误的是步骤________填序号，原因是________________________，请写出正确的解答过程． 【答案】配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加移项，得两边同时除以，得配方，得．．．，  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$