指数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

指数函数 题型分类 题型一 指数运算 直击痛点 · 指数及指数运算 (1)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂 ②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 重点题目 1-1．（2025高三·全国·专题练习）已知，， (1)求的值； (2)求证：存在，使得. 1-2．（24-25高二下·江苏苏州·期末）满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 1-3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 1-4．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 题型二 指数运算+应用背景 直击痛点 · 题目翻译+指数运算 重点题目 2-1．（24-25高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2-2．（24-25高一上·江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 2-3．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2-4．（2024高三·全国·专题练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是（   ） A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 题型三 指数函数的图像 直击痛点 · 指数函数 图象 性质 定义域，值域 ，即时，，图象都经过点 ，即时，等于底数 在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 时，；时， 时，；时， 既不是奇函数，也不是偶函数 重点题目 3-1．（2026高三·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 3-2．（2026高三·全国·专题练习）若，且与直线有两个公共点，则的取值范围是 . 3-3．（2026高三·全国·专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   3-4．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3-5．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 指数函数单调性 直击痛点 · 指数函数 图象 性质 定义域，值域 ，即时，，图象都经过点 ，即时，等于底数 在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 时，；时， 时，；时， 既不是奇函数，也不是偶函数 重点题目 4-1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4-2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4-3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4-4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 4-5．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4-6．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4-7．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4-8．（2025·宁夏中卫·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 4-9．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-10．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型五 指数函数值域 直击痛点 · 指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决. 重点题目 5-1（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域为，求的取值范围 ． 5-2．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 5-3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 5-4．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5-5．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 5-6．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5-7．（24-25高三下·天津·开学考试）关于的方程，给出下列六个命题： ①存在实数，使得方程恰有0个实根；②存在实数，使得方程恰有1个的实根； ③存在实数，使得方程恰有2个不同的实根：④存在实数，使得方程恰有3个不同的实根； ⑤存在实数，使得方程恰有4个不同的实根：⑥存在实数，使得方程恰有5个不同的实根． 其中，真命题的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5-8．（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 指数函数综合 直击痛点 · 指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 重点题目 6-1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)判断在区间上的单调性，并证明； (2)求的值域； (3)若，求的最小值. 6-2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数（且）为定义域上的奇函数． (1)求的值及函数的值域； (2)若函数在区间上有2个零点，求实数的取值范围． 6-3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数函数 题型分类 题型一 指数运算 直击痛点 · 指数及指数运算 (1)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂 ②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 重点题目 1-1．（2025高三·全国·专题练习）已知，， (1)求的值； (2)求证：存在，使得. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算，借助分式的基本性质计算得解. （2）求出，利用二项式的展开式推理得证. 【详解】（1）由，，得， 所以. （2）由，，得是方程的二根，解得， 不妨令，，， ， ， 因此 ， 而为正整数， 令，即， 所以存在，使得. 1-2．（24-25高二下·江苏苏州·期末）满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算化简得，逐个选项分析即可判断. 【详解】记，则， 因为，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 1-3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 1-4．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 题型二 指数运算+应用背景 直击痛点 · 题目翻译+指数运算 重点题目 2-1．（24-25高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可求出的值，根据污染物减少，可得出，解出即可得解. 【详解】由可知，当时，； 当时，，解得，那么. 因为污染物减少，所以，所以， 所以． 所以污染物减少大约需要花费． 故选：B． 2-2．（24-25高一上·江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数模型计算即可. 【详解】由题意，第10代得到的种子数为 故第10代得到的种子数约为 故选：C. 2-3．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 2-4．（2024高三·全国·专题练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是（   ） A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 【答案】C 【分析】利用待定系数法，结合代入法、指数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时， 所以有，， 于是当时，（小时）. 故选：C 题型三 指数函数的图像 直击痛点 · 指数函数 图象 性质 定义域，值域 ，即时，，图象都经过点 ，即时，等于底数 在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 时，；时， 时，；时， 既不是奇函数，也不是偶函数 重点题目 3-1．（2026高三·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 3-2．（2026高三·全国·专题练习）若，且与直线有两个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出曲线与直线的图象，由条件结合图象求的范围. 【详解】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点， 则的取值范围是． 故答案为：. 3-3．（2026高三·全国·专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意可知当时，；当时，，结合指数函数的图象与性质即可判断. 【详解】函数定义域为，且 当时，函数是一个指数函数，因为， 所以函数在上是减函数；故排除A，C； 当时，函数图象与指数函数的图象关于轴对称， 在上是增函数．故排除B． 故选：D. 3-4．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 3-5．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 题型四 指数函数单调性 直击痛点 · 指数函数 图象 性质 定义域，值域 ，即时，，图象都经过点 ，即时，等于底数 在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 时，；时， 时，；时， 既不是奇函数，也不是偶函数 重点题目 4-1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，得，利用基本不等式即可比较大小，构造函数令，利用导数研究单调性进而比较大小，进而求解. 【分析】因为，所以，故，则，即； 又，，令， 则，当时，，所以在上单调递增， 则，即，所以，即. 综上，． 故选：D. 4-2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数可得，进而可得，可比较的大小，取，可得当时，，可比较的大小，可得结论. 【详解】， 设，则， 故在单调递增，所以，，所以， 故，即． 曲线的图象如图所示，其中，则直线OA为， 当时，，则，即． 综上，． 故选：B. 4-3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过题干可知分段函数要整体递增，根据每段需分别递增，且分段点处也要满足条件列式即可. 【详解】当时，函数单调递增，又在上为单调函数，则在上单调递增， 当时，，解得， 又要保证端点处满足题干，，解得， 即a的取值范围为． 故选：. 4-4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意，得，得，求解不等式即可. 【详解】依题意，得， 得， 得， 得， 即，得， 得，得，得， 则实数的取值范围是：， 故答案为： 4-5．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 4-6．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【详解】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D 4-7．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 4-8．（2025·宁夏中卫·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数单调性得是增函数，从而，由此结合对数函数单调性可说明A错，B对，对于CD，举反例即可判断. 【详解】，令函数， 因为都是增函数，所以是增函数， 所以， 对于AB，，故A错误，B正确； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：B. 4-9．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 4-10．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 题型五 指数函数值域 直击痛点 · 指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决. 重点题目 5-1．（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域为，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】令，结合题意可得为值域的子集，从而可求解. 【详解】令，则， 因函数的值域为， 所以，只需，即. 故的取值范围为. 故答案为：. 5-2．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用换元法，令，则，将方程分离参数得到，令，从而将原问题转化为直线与函数的图象有交点求解即可； （2）利用换元法和分离参数法，将原问题转化为直线与函数的图象有一个交点求解即可； （3）利用换元法和分离参数法，将原问题转化为直线与函数的图象有两个交点求解即可； （4）先考虑方程在上有解，即（1），再取补集即可. 【详解】（1）令，则，且，即， 因为，所以， 令，则原问题转化为直线与函数的图象有交点， ， 因为，所以在上单调递减， 又，所以， 故方程在上有解，； （2）由（1）知，原问题转化为直线与函数的图象有一个交点， 由（1）知在上单调递减，故； （3）由（1）知，原问题转化为直线与函数的图象有两个交点， 由（1）知在上单调递减，故直线与函数的图象不可能有两个交点，所以； （4）由（1）知，方程在上有解，， 故方程在上无解，. 5-3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】显然，令，则，当时，定义法得到函数单调性，得到，当时，由基本不等式得到，从而求出函数值域. 【详解】显然， 令，则， 则， 当时，取，， 则， 因为，，所以，， 故，， 故在上单调递减， 所以， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 故的值域为. 5-4．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 5-5．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 5-6．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数单调性即可求解. 【详解】易知为减函数， 所以. 所以函数的值域为， 故选：A 5-7．（24-25高三下·天津·开学考试）关于的方程，给出下列六个命题： ①存在实数，使得方程恰有0个实根；②存在实数，使得方程恰有1个的实根； ③存在实数，使得方程恰有2个不同的实根：④存在实数，使得方程恰有3个不同的实根； ⑤存在实数，使得方程恰有4个不同的实根：⑥存在实数，使得方程恰有5个不同的实根． 其中，真命题的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】方程，可化为，令，令，，则与的图象交点的个数即为方程实根的个数，作出图象，数形结合可得答案. 【详解】方程，可化为， 令，则，且是一一对应关系， 令，， 则与的图象交点的个数即为方程实根的个数， 在同一坐标系中，作出图象，如图所示： 当，即时，与的图象有1个交点， 故方程有1个实根； 当，即时，与的图象有2个交点， 故方程有2个不同的实根； 当，即时， 与的图象有4个交点， 故方程有4个不同的实根； 当，即时，与的图象有2个交点， 故方程有2个不同的实根； 当，即时， 与的图象有0个交点， 故方程有0个实根， 综上，①②③⑤正确，共4个， 故选：B. 5-8．（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 题型六 指数函数综合 直击痛点 · 指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 重点题目 6-1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)判断在区间上的单调性，并证明； (2)求的值域； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)在区间上单调递增；证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义代入计算可得的值，再由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）由函数的单调性以及奇偶性即可得到，即可得到结果； （3）根据题意，由换元法，结合二次函数的值域分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以， 解得，所以， 又， 解得或（舍），所以， 在区间上单调递增， 设，所以， 又，所以，所以，即， 所以在区间上单调递增； （2）由（1）知在区间）上单调递增，又是定义在上的偶函数， 所以，所以的值域为； （3）由题意知，令， 所以，所以， 当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 综上，. 6-2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数（且）为定义域上的奇函数． (1)求的值及函数的值域； (2)若函数在区间上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由即可得到的值，然后代入检验，再由，结合指数函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将函数的零点问题转化为方程的根的问题，即在上有两个不相等的实数根，再由二次函数的性质列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可知的定义域为，由奇函数的性质可知，则， 此时，， 所以符合条件． 又因为，所以， 所以，因此函数的值域为. （2）由，得， 函数在区间有2个零点， 即方程在上有两个不相等的实数根． 整理得，，令，由，则， 即在上有两个不相等的实数根． 令，在上有两个零点， 则满足，解得， 综上可知，实数的取值范围为. 6-3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出，作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得， 所以， ，， 即，，解得， 经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 令，，则， 于是函数变为， 对称轴为，所以在单调递减，在单调递增， 因此当时，，当时，， 所以函数的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$