圆锥曲线中的定点问题 ——解析几何中的不变量 课件-2025届高三数学二轮复习

圆锥曲线中的定点问题 ——解析几何中的不变量 授课教师：***** 【高考真题】 定点问题： 解析几何中动直线或动曲线(圆)不论如何变化总是经过某定点,并探求定点坐标。 常见求解方法: （1）直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点； （2）从特殊情况入手(特殊值探路)求出定点,再证明这个定点与变量无关; （3）特定方法：齐次化消元分析斜率之和(积)，曲线系技术。 问题一：圆锥曲线中定点问题的解决方法有哪些？ 【范例】 曲线 已知点 ，若直线 (不过 点)与曲线 交于不同的两点 ，以线段 为直径的圆恒过 点，判断直线 是否恒过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由. ，或者表示为 问题二：设，则以为直径的圆怎么表示？ 【范例】 曲线 已知点 ，若直线 (不过 点)与曲线 交于不同的两点 ，以线段 为直径的圆恒过 点，判断直线 是否恒过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由. 【法一：直接计算】 ① 联立直线和椭圆方程，通过韦达定理得到交点 坐标的关系。 (需要注意判别式) 联立方程组 , 得 . ，整理得 . 设 , 则 . 【法一：直接计算】 ② 表示关键条件，代入韦达定理。目标： 的等量关系 以 为直径得圆恒过 点，即 . 由于 即有 , 即有 , 也即 , 因式分解, , 解得 或 ，满足 . 【法一：直接计算】 ③ 代入直线表达式，找定点 当 时, 直线 方程为 , 过定点 , 舍去; 当 时, 直线 方程为 , 过定点 ,符合题意. 【直接计算】求定点： 1、注意判别式成立的条件。 2、寻求 的等量关系时留意是否能进行因式分解。 3、求出定点后应进行验证。 【范例】 曲线 已知点 ，若直线 (不过 点)与曲线 交于不同的两点 ，以线段 为直径的圆恒过 点，判断直线 是否恒过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由. 【法二：特值探路】 ① 椭圆、 点和直线 的选择情况关于 轴对称 ( 和 )，从而如果存在定点，则定点必在 轴上。 由于以 为直径的圆恒过 点，则 。考虑特殊情形：直线 和直线 斜率分别为 。 联立直线 和曲线 : 设 ，解得 。因此猜测定点为 。 ② 记定点为 ，要证直线 恒过定点 ，即证 ，又有 ，，即证 (*)。 设直线 。联立直线 和曲线 : ， 整理得，因此 ；同理，， 代入(*)中得即证 ， 也即 ，显然成立。 因此假设成立，直线 恒过定点 。 【特值探路】求定点： 1、如果题设具有某种对称性，定点在坐标轴上。 2、如果没有对称性，则举两种特殊情形，求出定点坐标。 3、通过关键条件和所猜定点将要证明的结论简化，验证成立。 【范例】 曲线 已知点 ，若直线 (不过 点)与曲线 交于不同的两点 ，以线段 为直径的圆恒过 点，判断直线 是否恒过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由. 【法三：齐次化】 关键条件： 由于直线 不过点 ，可设 --- (1) 将曲线 变形为 --- (2) 利用 方程 (1) 将 (2) 中左侧全部化为二次项，得到： ，也即 --- (3)， 此时点 必满足(3)。 --- (3) 两侧同除 ，得 ， 设，则有 ， 则 和 为该方程的两根，因此 ，也即 。 代入 (1) ， ，从而 ，即， 恒过定点 。 【齐次化】求定点： 过圆锥曲线(二次曲线)上某定点 的两直线 斜率之和，斜率之积的有关问题： 1、设直线 的表达式：。 2、将二次曲线变形为所有项以 或 为因式的形式。 3、利用直线表达式将二次曲线左侧齐次化。 4、两侧同除 ，将等式转化为 的一元二次方程。 5、由韦达定理， 的斜率之和(积)就可以转化为 的一次等量关系。 6、消参，求定点。 【齐次化读题分析】 已知椭圆 经过点 ， 为椭圆 上的两个动点。 1、若直线 的倾斜角互补，求直线 的斜率； 2、若 为锐角 的角平分线，试判断直线 是否过定点，并证明你的结论。 分析： 1、椭圆过定点A，从A引出的两条直线倾斜角互补：； 2、点A与原点连线倾斜角为 ，AO 为锐角 的角平分线： 从A引出的两条直线倾斜角互余：. 【定点问题小结】 1、定点问题是研究直（曲）线在运动变化过程中保持不变的点的问题。 本质：直（曲）线运动变化过程中的不变性。 动中有定。以不变应万变。 2、定点问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质及位置关系，与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，分析过程需合理猜想并仔细推理论证，准确分析问题并解决问题。 能力要求：加强代数运算能力和图形识别能力，准确进行数与形的语言转换和运算。 【练习】 (2019·北京·理·第18题) 已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)． (Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程； (Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． (2020年高考课标Ⅰ卷理科·第20题) 已知A、B分别为椭圆E：(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． (2019·北京·理·第18题) 已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)． (Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程； (Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． (2020年高考课标Ⅰ卷理科·第20题) 已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E方程； (2)证明：直线CD过定点． $$