九年级数学上学期第一次月考卷（高效培优·强化卷）（范围：二次函数与反比例函数+比例线段与相似三角形的判定）数学沪科版九年级上册

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （测试范围：第21章~第22.2章二次函数与反比例函数、比例线段与相似三角形的判定） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如果，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 5．（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 6．二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．A，B两点之间的距离为7 D．当时，y随x值的增大而增大 7．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 8．如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤ 9．如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B．C．D． 10．（24-25九年级上·安徽亳州·月考）已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，那么代数式的值是 ． 12．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示 ． 13．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点，则 ． 14．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，反比例函数在第一象限内的图象经过矩形，交于点，交于点，将沿着折叠，点恰好落在轴上的点． （1）若点的坐标是，，则 ． （2）若，则 ． 三．解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（24-25九年级上·安徽宿州·月考）已知，且，求c的值． 16．（8分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 17．（8分）（24-25九年级上·安徽合肥·月考）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 18．（8分）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 19．（10分）（24-25九年级上·安徽亳州·月考）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 20．（10分）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A，B，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，    根据上述规律解决以下问题： (1)抛物线的顶点坐标是_____________； (2)求抛物线中的值． 21．（12分）如图，直线（，是常数且）与，轴交于点A和点，与双曲线交于，两点，连接， (1)求，，的值； (2)①求的面积为________． ②当时，关于的不等式的解集为________． 22．（12分）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 23．（14分）（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图1，抛物线与x轴交于点和点B（点A位于点B左侧），与y轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点． ①如图2，连接与交于点，连接，，若，求点的横坐标； ②如图3，过点作轴交于点，将直线向右平移1个单位且交该抛物线于点，交线段于点，连接，，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （测试范围：第21章~第22.2章二次函数与反比例函数、比例线段与相似三角形的判定） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如果，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 设 A、，该选项不成立； B、，该选项成立； C、，该选项成立； D、，该选项成立； 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，， ∴，故本选项不符合题意； B、添加，不能判断，故本选项不符合题意； C、∵， 则，又， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为． 又 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 由于开口向上，距离对称轴越远的点值越大．因此，． 故选C． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【答案】B 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， ∵图象过 ∴，解得：， ∴ ∴当时， ． 故选B． 5．（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 6．二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．A，B两点之间的距离为7 D．当时，y随x值的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，即当时，y随x值的增大而增大；故D选项正确，符合题意； 当时，，解得，， ∴， ∴，故C选项不正确，不符合题意． 故选：D． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， ， ，， ， ∵点为线段的黄金分割点， 设， 则， ， 化简得，， ， ， ， ． 故选：A． 8．如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤ 【答案】B 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ，， 对称轴在y轴右侧， a，b异号， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， ， ， 故②正确； 抛物线与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一交点在点和之间，如图： 当时，， ， 故③错误； 由图可知，当时，y有最大值， 即， （m为实数）； 故④正确； 如上图，当时，可能大于0，也可能小于0， 故⑤错误； 综上可知，正确的有①②④， 故选B． 9．如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 10．（24-25九年级上·安徽亳州·月考）已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【详解】①当时，对应函数值的取值范围是， 则函数图象过点或点， 对于反比例函数（）， 当函数图象过点时，则有两个点符合要求，即 此时有两个“君子数对”； 当函数图象过点时，由于反比例函数（）的图象关于直线对称，而也关于直线对称，则有无数个点符合要求， 此时有无数个“君子数对”； 故①正确； ②当时，，当时，， 又的对称轴是直线，且， 当时，随的增大而减小，且， 是二次函数的“君子数对”， 故②正确； ③， 又的对称轴是直线，且， 当时，且 不是二次函数的“君子数对”， 故③错误； 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，那么代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：设， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点，则 ． 【答案】0 【详解】∵二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点 ∴ ∴得， ∴． 故答案为：0． 14．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，反比例函数在第一象限内的图象经过矩形，交于点，交于点，将沿着折叠，点恰好落在轴上的点． （1）若点的坐标是，，则 ． （2）若，则 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵矩形， ∴，， ∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴点， 则，解得； （2）设， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； 故答案为：，． 三．解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（24-25九年级上·安徽宿州·月考）已知，且，求c的值． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴，解得． ∴． 16．（8分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 【详解】（1）解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 17．（8分）（24-25九年级上·安徽合肥·月考）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点和点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）解：∵抛物线开口向上，且，都有， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，大于点到对称轴的距离， ∴，解得， ∴的取值范围是． 18．（8分）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 【详解】（1）解：点A的坐标为，P是的中点， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）证明：当时，， 解得：， ， ∵， ，，， ，， ， 又， ． 19．（10分）（24-25九年级上·安徽亳州·月考）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 20．（10分）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A，B，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，    根据上述规律解决以下问题： (1)抛物线的顶点坐标是_____________； (2)求抛物线中的值． 【详解】（1）直线的解析式为：， ∵抛物线的顶点的横坐标为2,且顶点在直线上， ∴抛物线的顶点坐标为， 同理可得：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， ， 故抛物线顶点坐标为； （2）由题意得：抛物线形状相同，的顶点坐标为， 故设抛物线的解析式为：， 即， ． 21．（12分）如图，直线（，是常数且）与，轴交于点A和点，与双曲线交于，两点，连接， (1)求，，的值； (2)①求的面积为________． ②当时，关于的不等式的解集为________． 【详解】（1）解：∵直线（，是常数且）轴交于点，与双曲线交于， ∴，， 解得：，． （2）解：①∵ ， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6； ②由（1）知，， 联立， ∴， 解得或， 当时，， ∴， ∴的不等式的解集为． 故答案为：． 22．（12分）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 23．（14分）（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图1，抛物线与x轴交于点和点B（点A位于点B左侧），与y轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点． ①如图2，连接与交于点，连接，，若，求点的横坐标； ②如图3，过点作轴交于点，将直线向右平移1个单位且交该抛物线于点，交线段于点，连接，，求的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：①∵点位于线段上方且是该抛物线上的一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得：，，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的横坐标为； ②设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点位于线段上方且是该抛物线上的一点， ∴设，则， ∴， ∵将直线向右平移1个单位且交该抛物线于点，交线段于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$