精品解析：陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试题

铁一中高一分班考数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，计30分） 1. 下列算式中，运算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用指数幂运算化简求值，判断正负即可得. 【详解】由，，，，显然为正数的是C. 故选：C 2. 如图，是某几何体的主视图和俯视图，则该几何体可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 【答案】C 【解析】 【分析】利用三视图判断几何体即可. 【详解】由主视图和俯视图可得，该几何体可能是圆柱. 从俯视图看，图形是圆形；从主视图看，则是一个矩形. 能满足“主视图为矩形、俯视图为圆形”的正是圆柱. 圆锥主视图应呈三角形，球的任意正投影视图都应为圆，长方体的俯视图为矩形， 因此都不符合题意，故C正确. 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用合并同类项、指数幂的运算性质化简判断各项正误. 【详解】由，，，，显然B正确. 故选：B 4. 如图，，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行性质结合题意可得，然后由外角和定理可得答案 【详解】因，则，又平分，则. 然后由外角和定理可得：. 故选：D 5. 已知两个一次函数和，它们图象的交点在第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断，联立两方程，求得交点，依题意得不等式组，求解即得. 【详解】由题意，显然，由，解得， 依题意，，由①得，则由②可得，解得， 故的取值范围是. 故选：D. 6. 如图，中，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由旋转的性质可知，，是等边三角形，求出，由旋转的性质可知，是等边三角形，得到，进而，由勾股定理求出． 【详解】∵， ∴， 由勾股定理得，， 由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， 是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 故选：C． 7. 已知点与点都在一次函数的图象上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断一次函数随x的增大而减小，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意知点与点都在一次函数的图象上， 不妨设，则，结合可得， 即， 故一次函数随x的增大而减小， 故，即， 故选：C 8. 如图，已知四边形是矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接，若，，则矩形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，可得到，然后再证明，则，证明，由相似三角形的性质得出，得出，进而，则可得出答案． 【详解】如图，设与相交于点， ， ． 由翻折的性质可知． ． ． 由翻折的性质可知，． ，． 在和中， ， ． ． ． 又， ， ， 设，则， 又， 所以，又，则， 所以矩形的面积为2． 故选：A． 9. 如图，已知半圆的内接四边形，是直径，将沿翻折，点的对称点恰好落在上，若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，连接，根据折叠性质得到边长关系和角的关系，利用射影定理可求． 【详解】作，连接， 由折叠的性质可知，， ， ， 又， ， ， 由射影定理得，， 在Rt中，， ． 故选：C． 10. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D 二、填空题（每小题3分，共4小题，计12分） 11. 不等式的最小整数解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求出解集，再得到最小整数解即可. 【详解】由，可得， 解得， 故不等式的最小整数解是. 故答案为： 12. 若一个正多边形的一个外角是，则这个多边形共有__________条对角线． 【答案】35 【解析】 【分析】先由多边形的外角和为求出多边形边数，再由多边形对角线公式计算即可. 【详解】因多边形的外角和为，依题意，可得多边形的边数为， 则该多边形的对角线条数为条. 故答案为：35. 13. 已知反比例函数和在第一象限的图象如图所示，从原点任引两条射线交反比例函数图象于、、、四点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设射线、的解析式，求得交点坐标，推出，从而得到，即可求得结果. 【详解】设射线的解析式为，设射线的解析式为， 则由得，即， 由得，即， 同理可得，， 因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 14. 如图，在中，，是边上动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，则面积的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转后四边形的面积等于的面积，结合和二次函数性质求解可得. 【详解】记的中点为，连接， 因为，所以，， 所以，， 由题意可知，，设， 由旋转性质可知，， 所以， 过点作于点，则，， 四边形的面积， 又， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最大值. 故答案为： 三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】由根式，绝对值，幂运算性质结合特殊三角函数值可得答案. 【详解】 . 16. 先化简，再求值：；当时，求分式的值． 【答案】 ；. 【解析】 【分析】根据分式运算法则进行运算. 【详解】； 当时，原式=. 17. 如图，在中，请你利用尺规作出平行四边形的内接菱形，其中点在边上，点在边上．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】先利用垂直平分线的作法作出的垂直平分线，然后连接即可作出菱形. 【详解】连接对角线，以为圆心，取大于的长度为半径画弧， 以为圆心，取大于的长度为半径画弧，得到两弧的两个交点， 再过这两个交点作直线（此直线即为的垂直平分线）， 该直线与的交点为，该直线与的交点为，用直尺连接， 则四边形即为所求的菱形，尺规作图如下图所示， 18. 为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被调查的学生人数． （2）将条形统计图补充完整． （3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 【答案】（1）200 （2） （3）560 【解析】 【分析】（1）结合题中给出的条形图和扇形图，选择劳技的人数和百分率都知道，即可求出被调查的学生人数； （2）有了总体，由扇形图可知选择文学的百分率是，即可求出选择文学的人数，再用学生总人数减去艺术、劳技、文学、其他的人数，得到选择体育的人数，并据此画完该条形图； （3）根据用样本估计总体的方法，先计算选择体育类的百分率，再乘以全校总人数即可. 【小问1详解】 由条形图和扇形图，选择劳技的人数为60人，百分率是， 则被调查学生的总人数为：（人）； 【小问2详解】 选择文学的百分率是，由（1）知被调查学生的总人数为人； 则选择文学的学生人数为：（人）， 选择体育的学生人数：（人）， 完成的条形图如下： 【小问3详解】 选择体育类的百分比为， 所以估计全校选择体育类的学生有（人） . 19. 如图，四边形中，，是延长线的一点．若，．求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】可连接，得出≌（），即，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 连接，∵，，，， ∴，∴≌（），∴． 因为，所以，故． 20. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢的长度相同，均为300cm，的倾斜角为，cm，支撑角钢与底座地基台面接触点分别为、，垂直于地面，于点．两个底座地基高度相同（即点到地面的垂直距离相同），均为30cm，点到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢和的长度各是多少厘米？（结果保留根号）． 【答案】cm，cm 【解析】 【分析】过点作地面的垂线交地面于，作交于，延长交于，利用直角三角形中正弦、余弦的定义求解即可. 【详解】如图，过点作地面的垂线交地面于，作交于， 延长交于， 因为点到地面的垂直距离相同，均为30cm，点到地面的垂直距离为50cm， 所以cm， 因为的倾斜角为，即， 所以在中cm， 在中cm， 所以cm，cm， 所以在中，cm. 21. 我校准备组织学生到汉中进行夏令营励志学习活动，要求所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下：二等座98元，一等座155元．学生购买二等座在假期可以享受七五折的优惠，其余座次不享受学生票优惠．已知参加学习活动的人员共110人，其中老师10人，由于假期是旅游旺季，出现了一票难求的现象，虽经我校和旅行社不断争取，二等座单程火车票只能买张（），其余须买一等座单程火车票． （1）在保证所有人员都有座位的前提下，写出购买单程火车票的最低总费用与之间的函数关系式； （2）在（1）的方案下，请求出当时，购买单程火车票的总费用． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据题意分和两种情况分别求出即可； （2）由（1）得，当时，代入求解即可. 【小问1详解】 由题意：当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）有， 当时，（元） 所以购买单程火车票的总费用为元 22. 我校为了九年级学生中考前体能达标情况，规定用“立定跳远”，“耐久跑”（男生100米，女生800米），“掷实心球”，“50米短跑”作为测试项目． （1）李优同学从4个项目中随机任选一个，恰好是“耐久跑”的概率是多少？ （2）若将“立定跳远”表示为，“耐久跑”表示为，“掷实心球”表示为，“50米短跑”表示为．张红武同学从4个项目中随机任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求出恰好一个是“耐久跑”，另一个是“立定跳远”或“掷实心球”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求解，即可得答案； （2）列表或用树状图表示出所有可能的情况，确定符合所求的事件的可能情况，即可求得答案. 【小问1详解】 由于共有4个测试项目，所以李优同学从4个项目中随机任选一个， 恰好是“耐久跑”的概率是. 【小问2详解】 由题意知张红武同学从4个项目中随机任选两个，可能情况列表如下： A B C D A B C D 若用树状图，表示如下： 由此可知所有可能的情况有12种， 其中恰好一个是“耐久跑”，另一个是“立定跳远”或“掷实心球”的情况共有4种， 即，，,, 故恰好一个是“耐久跑”，另一个是“立定跳远”或“掷实心球”的概率为. 23. 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线交于点． （1）若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：因为，则，因为，所以， 又，则，又因为， 则，即，又是的弦，所以在上， 所以是的切线. （2） 【解析】 【分析】（1）利用，再由，得，结合条件可得，即可求解； （2）根据条件，利用垂径定理得，在中，结合条件得，再在，利用勾股定理建立等式，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，是的弦，则是的中点，又，则， 在中，，得到， 设的半径为， 在中，由，得到，解得， 所以的半径为. 24. 已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点（在的右侧），点、关于直线对称．过点作直线交直线于点． （1）点坐标为__________；点坐标为__________； （2）求二次函数解析式； （3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过点时，设顶点为，求出的长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，根据交点和系数的关系得出，解得，从而求得，的坐标； （2）二次函数转化为顶点式为：，确定顶点的坐标，从而得线段的中点坐标，根据点、关于直线对称，代入中点坐标即可得的值，从而可得解析式； （3）根据平行直线的解析式的值相等求出直线的解析式的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立求解得到点的值，再利用抛物线解析式求出相应横坐标上的点，从而求出抛物线向上移动的距离，然后得到平移后的抛物线的顶点的坐标，根据两点间的距离公式计算即可得到的值． 【小问1详解】 令可得，所以， 所以点坐标为，点坐标为； 【小问2详解】 二次函数转化为顶点式为：， 所以顶点的坐标为，则线段的中点坐标为， 由于点、关于直线对称， 则点在直线上，所以，可得， 所以二次函数的解析式为； 【小问3详解】 因为过点作直线交直线于点， 所以直线的， 设直线的解析式为， 因为点坐标为， 所以，解得， 所以直线的解析式为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 当时，， 所以平移后与点重合的点的坐标为， 平移距离为， 因为平移前顶点坐标为， 所以平移后顶点坐标， 则， 所以，的长是． 25. 问题提出： （1）如图1，正方形，请利用尺规作图以为一边作正，使得点在正方形的内部； 思考探究： （2）若图形甲的顶点均在图形乙的边界上，则称图形甲为图形乙的内接图形. ①已知：如图2，等边的顶点，，分别在正方形的边，，上（为正方形的内接正三角形），于点，连接，.求证：为等边三角形. ②如图3，若正方形边长为1，请你求出正方形的内接正三角形面积最大值和最小值. 拓展延伸： （3）如图4，图5，在矩形中，，且． ①如图4，若，矩形的内接等边三角形面积最大值是__________； ②如图5，当矩形的内接等边三角形面积取得最大，并且等边三角形的各边都不与矩形的边重合时，和满足的关系是__________.（直接写出结果，不用证明） 【答案】（1） （2） ①证明：∵，∴，∴点，，，四点共圆. 由圆的性质可知. 同理可得，∴为等边三角形. ②最大值为；最小值为 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质、利用尺规作图即可作出以为一边的正； （2）①由可得点，，，四点共圆.由圆的性质可知.同理可得，即可证明； ②以为一边作正，连接并延长，交于点，以为一边在正方形作正.此时是正方形内过点的最长线段，正面积最大.可证与是全等三角形，故设，在和中，用表示出，解方程可得的值，即可求解正方形的内接正三角形面积的最大值；过点作交于点，交于点.此时是正方形内过点的最短线段，正面积最小.利用三角形面积公式即可求解正方形的内接正三角形面积的最小值； （3）①以为一边作正，点落在矩形内部，在上任取一点，连接，过点作的垂线，分别交于点，交于点，连接，.类比（2）中①的证明可证为等边三角形，故是矩形的内接正三角形.设，则，，最长时，点与点或点重合，即可求解； ②过点作交于点.点越靠近点或点，越长，且不能与矩形的边重合，结合，即可求解. 【小问1详解】 以为一边作正，如下图所示： 【小问2详解】 ①略 ②如图3所示，以为一边作正，连接并延长，交于点，以为一边在正方形作正. ∵是正方形内过点的最长线段，∴正面积最大. 在和中， ∵，∴与是全等三角形，∴. 设，，则. 在中，； 在中，， ∴，即，解得或（舍去）. ∴，则， ∴， 即正方形的内接正三角形面积最大值为. 如图4所示，过点作交于点，交于点. ∵是正方形内过点的最短线段，∴正面积最小. 此时正的边长为1，∴，即正方形的内接正三角形面积最小值为. 【小问3详解】 ①如图4-1所示，以为一边作正，点落在矩形内部，在上任取一点，连接，过点作的垂线，分别交于点，交于点，连接，. ∵，∴，∴点，，，四点共圆. 由圆的性质可知.同理可得， ∴为等边三角形，且的三个顶点均在矩形的边上，∴是矩形的内接正三角形. 设，则，，∴越大，越大，即越长，越大. 最长时，点与点或点重合，此时，，； ②，理由如下： 如图5-1所示，过点作交于点. 由①可知：越长，越大，且最长时，点与点或点重合. 此时等边三角形的边长为，此时等边三角形有一边与矩形边重合，不符合题意； 点越靠近点或点，越长，且不能与矩形的边重合，故. 又，∴，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁一中高一分班考数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，计30分） 1. 下列算式中，运算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是某几何体的主视图和俯视图，则该几何体可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个一次函数和，它们图象的交点在第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知点与点都在一次函数的图象上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形是矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接，若，，则矩形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 9. 如图，已知半圆的内接四边形，是直径，将沿翻折，点的对称点恰好落在上，若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共4小题，计12分） 11. 不等式的最小整数解是__________． 12. 若一个正多边形的一个外角是，则这个多边形共有__________条对角线． 13. 已知反比例函数和在第一象限的图象如图所示，从原点任引两条射线交反比例函数图象于、、、四点，则______． 14. 如图，在中，，是边上动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，则面积的最大值是__________． 三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：；当时，求分式的值． 17. 如图，在中，请你利用尺规作出平行四边形的内接菱形，其中点在边上，点在边上．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18. 为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被调查的学生人数． （2）将条形统计图补充完整． （3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 19. 如图，四边形中，，是延长线的一点．若，．求的长． 20. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢的长度相同，均为300cm，的倾斜角为，cm，支撑角钢与底座地基台面接触点分别为、，垂直于地面，于点．两个底座地基高度相同（即点到地面的垂直距离相同），均为30cm，点到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢和的长度各是多少厘米？（结果保留根号）． 21. 我校准备组织学生到汉中进行夏令营励志学习活动，要求所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下：二等座98元，一等座155元．学生购买二等座在假期可以享受七五折的优惠，其余座次不享受学生票优惠．已知参加学习活动的人员共110人，其中老师10人，由于假期是旅游旺季，出现了一票难求的现象，虽经我校和旅行社不断争取，二等座单程火车票只能买张（），其余须买一等座单程火车票． （1）在保证所有人员都有座位的前提下，写出购买单程火车票的最低总费用与之间的函数关系式； （2）在（1）的方案下，请求出当时，购买单程火车票的总费用． 22. 我校为了九年级学生中考前体能达标情况，规定用“立定跳远”，“耐久跑”（男生100米，女生800米），“掷实心球”，“50米短跑”作为测试项目． （1）李优同学从4个项目中随机任选一个，恰好是“耐久跑”的概率是多少？ （2）若将“立定跳远”表示为，“耐久跑”表示为，“掷实心球”表示为，“50米短跑”表示为．张红武同学从4个项目中随机任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求出恰好一个是“耐久跑”，另一个是“立定跳远”或“掷实心球”的概率． 23. 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线交于点． （1）若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 24. 已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点（在的右侧），点、关于直线对称．过点作直线交直线于点． （1）点坐标为__________；点坐标为__________； （2）求二次函数解析式； （3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过点时，设顶点为，求出的长． 25. 问题提出： （1）如图1，正方形，请利用尺规作图以为一边作正，使得点在正方形的内部； 思考探究： （2）若图形甲的顶点均在图形乙的边界上，则称图形甲为图形乙的内接图形. ①已知：如图2，等边的顶点，，分别在正方形的边，，上（为正方形的内接正三角形），于点，连接，.求证：为等边三角形. ②如图3，若正方形边长为1，请你求出正方形的内接正三角形面积最大值和最小值. 拓展延伸： （3）如图4，图5，在矩形中，，且． ①如图4，若，矩形的内接等边三角形面积最大值是__________； ②如图5，当矩形的内接等边三角形面积取得最大，并且等边三角形的各边都不与矩形的边重合时，和满足的关系是__________.（直接写出结果，不用证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $