2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 22200 1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法. 学习目标 22200 一级标题：黑体， 2 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 想一想：什么是因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 你知道因式分解有哪些方法吗？ ①提公因式法：ma + mb + mc = m(a+b+c) ②公式法：平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b) 完全平方公式 a±2ab+b =(a±b)2 ③十字相乘法:x2 +(a+b)x + ab =(x + a)(x +b) 本节课涉及 情境导入 22200 小颖、小明、小亮都设这个数为 x， 根据题意，可得方程 : x2 = 3x. 问题 一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都解了此方程，他们的解法各不相同，你觉得谁做的对呢？ 你知道如何解此方程吗？ 新知讲解 22200 小颖的解法： 由方程 x2 = 3x，得 x2–3x = 0. 因此 x1 = 0，x2 = 3. 所以这个数是 0 或 3. 小颖的解法是正确的，用的是公式法，是通用的方法. 新知讲解 22200 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 小明的解法： 由方程 x2 = 3x，两边同时约去 x ，得. x = 3. 所以这个数是 3. 小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0的情况. 新知讲解 22200 小亮的解法： 由方程 x2 = 3x，得 x2–3x = 0，即 x(x–3) = 0. 于是 x = 0，或 x –3 = 0. 因此 x1 = 0，x2 = 3. 所以这个数是 0 或 3. 小明的解法是正确的，而且比小颖的方法更简单. 新知讲解 22200 由方程 x2 = 3x，得 x2–3x = 0，即 x(x–3) = 0. 于是 x = 0，或 x –3 = 0. 因此 x1 = 0，x2 = 3. 所以这个数是 0 或 3. 如果 ab = 0， 那么 a = 0 或 b = 0 . “或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况：二者同时成立、二者有一个成立. “且”是“二者同时成立”的意思. 说一说，你是怎么理解这句话的？ 新知讲解 22200 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 x2–3x = 0 x(x–3) = 0 当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解. 这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法. 新知讲解 22200 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x–2)=x–2. 分析：(1) 5x2=4x 5x2–4x=0 移项 x(5x–4)=0 提公因式x 等价于 x=0或5x–4=0 x1=0，x2= 解一元一次方程 经典例题 22200 例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x–2)=x–2. 分析：(2) x(x–2)=x–2 x(x–2)–(x–2)=0 移项 (x–2)(x–1)=0 提公因式(x–2) 等价于 x–1=0或x–2=0 x1=1，x2=2 解一元一次方程 经典例题 22200 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x–2)=x–2. 解：(1)原方程可变形为 5x2 – 4x = 0 ， x(5x – 4) = 0 ， x = 0 ，或 5x–4 = 0. (2)原方程可变形为 x(x–2) – (x–2) = 0 ， (x–2)(x–1) = 0. x–2 = 0 ，或 x–1= 0. x1 = 2 ，x2 = 1. 经典例题 22200 用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①方程右边化为______； ②将方程左边分解成两个__________的乘积； ③至少________因式为零，得到两个一元一次方程； ④两个__________________就是原方程的解. 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 经典例题 22200 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？ x2–4 = 0 解：原方程可变形为 (x + 2)(x – 2) = 0. x + 2 = 0 或 x –2 = 0. x1 = –2，x2 = 2. (x+1)2–25 = 0 解：原方程可变形为 (x +1+5)(x+1–5) = 0. (x+6)(x–4) = 0. x+6 = 0 或 x–4 = 0. x1 = –6，x2 = 4. 新知讲解 22200 1.用因式分解法解下列方程： (1) (x + 2)(x – 4) = 0； (2) 4x(2x + 1) = 3(2x + 1). 解：(1)(x + 2)(x – 4) = 0 x+2=0 或x–4=0. x1 = –2，x2 = 4. (2) 原方程可变形为 4x(2x + 1) – 3(2x + 1) = 0. (2x + 1)(4x –3) = 0. 2x + 1 = 0 或 4x–3 = 0. 随堂练习 22200 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 2.一个数平方的 2 倍等于这个数 的 7 倍，求这个数. 解：设这个数为 x. 2x2 = 7x. 2x2 – 7x = 0. x(2x – 7) = 0. x = 0 或 2x –7 = 0. 随堂练习 22200 用因式分解法解下列方程： (1)(4x –1)(5x + 7) = 0； (2) x(x + 2) = 3x + 6； 解：(1)(4x –1)(5x + 7) = 0 4x –1= 0 或 5x + 7= 0. (2)原方程可变形为 x(x + 2) = 3(x + 2). x(x + 2) –3(x + 2) = 0. (x + 2)(x –3) = 0. x1 = –2，x2 =3. 随堂练习 22200 教师讲解分式运算时，通常会强调阐述的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。基本作图在实际生活中有广泛应用，如分析等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会规范化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学验证的学习，可以培养学生的质化能力。 用因式分解法解下列方程： (3) (2x + 3)2 = 4(2x + 3)； (4) 2(x –3)2 = x2 –9. (3)原方程可变形为 (2x+3)2 – 4(2x + 3)= 0. (2x+3)(2x+3– 4)= 0. 2x + 3 = 0 或 2x–1 = 0. (4)原方程可变形为 2(x – 3)2 = (x + 3)(x –3). 2(x – 3)2 – (x + 3)(x – 3) = 0. (x – 3) [2(x – 3)–(x + 3)] = 0. (x –3) (x – 9) = 0. x1 = 3，x2 = 9. 随堂练习 22200 因式分解法 概念 如果a·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0. 原理 当一元二次方程的一边为 0， 而另一边易于分解成两个 一次因式的乘积时，我们 就可以用因式分解法. 转化，整体，降次思想 思想 不能直接约去方程两边的因式， 最后结果可以带入检验。 易错点 课后总结 22200 19 $$