21.1 一元二次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的定义及一般形式这一核心知识点，系统梳理定义中的“一个未知数、最高次数2、整式方程”关键词，明确一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）及二次项、系数等概念，衔接判断方法与实际问题列方程，为后续学习解法和应用搭建基础支架。 资料以新课标核心素养为导向，通过易错点提醒强化二次项系数不为0等关键条件，培养推理意识。实际问题部分结合面积、增长率等情境，引导学生用数学眼光抽象等量关系，发展模型意识。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过分层练习巩固，查漏补缺，有效提升预习效果。

2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.1 一元二次方程 暑期预习讲义 学习目标 1. 理解一元二次方程的定义及基本特征； 2. 掌握一元二次方程的一般形式，能识别二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项； 3. 能根据一元二次方程的定义判断一个方程是否为一元二次方程； 4. 能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程. 知识点梳理 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 关键词：① 一个未知数；② 未知数最高次数是2；③ 整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数）. 2. 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：（其中，，是常数，且）. · 二次项：（含未知数且次数为2的项）； · 二次项系数：（二次项前面的常数，，否则未知数最高次数不是2）； · 一次项：（含未知数且次数为1的项，当时，一次项不存在）； · 一次项系数：（一次项前面的常数，当时，一次项系数为0）； · 常数项：（不含未知数的项，当时，常数项为0）. 3. 一元二次方程的判断方法 一个方程是一元二次方程，需同时满足以下条件： ① 是整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数）； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数是2； ④ 二次项系数不为0（即一般形式中）. 4. 根据实际问题列一元二次方程 步骤： ① 审题：明确问题中的已知量、未知量及等量关系； ② 设未知数：根据题意设出适当的未知数（通常设直接未知数）； ③ 列方程：根据等量关系，用含未知数的式子表示各量，列出方程； ④ 化简：整理方程为一般形式（）. 常见实际问题类型：面积问题（如长方形面积、圆形面积等）、增长率问题（如产量增长、利润增长等）、数字问题等. 易错点提醒 1. 忽略二次项系数不为0的条件：若方程中，则方程变为一元一次方程（当时）或常数方程（当时），不再是一元二次方程. 2. 误判未知数最高次数：如方程，未知数最高次数是3，不是一元二次方程；或方程，化简后为，未知数最高次数是1，不是一元二次方程. 3. 方程不是整式方程：如（含分式）、（含根号），均不是整式方程，不属于一元二次方程. 4. 混淆各项名称：如方程，一次项系数（不能说“没有一次项系数”）；方程，二次项系数是（注意符号）. 5. 列方程时等量关系错误：如“长方形长比宽多2，面积为15”，设宽为，则长为，等量关系是“长×宽=面积”，列方程为，易误写为（混淆周长与面积）. 知识点小结 核心概念：一元二次方程的定义（一个未知数、最高次数2、整式方程）；一般形式（）. 关键条件：二次项系数（是判断一元二次方程的前提）. 重要步骤：根据实际问题列一元二次方程（审题→设未知数→找等量关系→列方程→化简）. 数学思想：建模思想（将实际问题转化为数学方程模型）. 重点掌握：一元二次方程的定义及一般形式；识别二次项系数、一次项系数、常数项. 难点突破：根据实际问题中的等量关系准确列出一元二次方程. 注意事项： ① 必须强调“”，否则不是一元二次方程； ② 方程必须是整式方程（不含分式、根号）； ③ 列方程时注意单位统一，避免因单位混淆导致等量关系错误. 注：本节是一元二次方程的入门内容，重点理解定义和一般形式，为后续学习解法和应用奠定基础. 特别注意“二次项系数不为0”这一核心条件，以及从实际问题中抽象方程模型的过程. 巩固练习 一、选择题 1．已知2是关于x 的方程. 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为(　　). A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 2．某企业生产总值从一月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．若是方程的一个根，则的值为(　　) A． B． C． D． 4．下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：时，移项得，两边平方得，所以，即．仿照上述构造方法，当时，可以构造出一个整系数方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．将一元二次方程化成的形式为　 　． 7．将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为　 　． 8．小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为　 　． 9．已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　． 10．已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：　 　（只填序号） 三、解答题 11．已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 12．不解方程，判断下列方程根的情况： （1） （2） （3） 13．“绿水青山就是金山银山”，石家庄市在乡村振兴实施中，在山区发展养殖业，某农村合作社已经用篱笆圈定了如图所示的长方形养殖场，米，米，现计划在原有基础上进行扩建，雇佣两名工人同时沿着射线，射线方向继续匀速修建篱笆，两人工效相同，下表是方向的修建进度． 时间/天 1 2 3 4 的长/米 310 320 330 340 （1）求的长度（米）与时间（天）的函数关系式； （2）直接用含的关系式写出的长　 　； （3）两名工人工作若干天后，市政府安排工程队帮助合作社沿图2中的虚线修建好篱笆，最终将养殖场扩建成以为邻边的长方形，面积为 120000平方米，问两名工人各工作了几天? 14．已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1． (1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值； (2)用只含字母a，n的代数式表示b； (3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围． 参考答案 1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6． 7．﹣5 8． 9．2027 10．①②④ 11．（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 答：当时，该方程是一元二次方程； （2）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 答：当时，该方程是一元一次方程． 12．（1）解：的一般形式为； ，故方程有两个相等的实数根． （2）解：原方程化为一般形式为， ，故方程没有实数根． （3）解：化为一般形式为， ， 所以此方程有两个不相等的实数根． 13．（1）解：由表可知，时间每增加1天，的长度增加10米 ∴ （2） （3）解： 解得（舍） 14．(1)b=1，c=1；(2)；(3)-≤a≤-. 学科网（北京）股份有限公司 $$