2.3二次根式（第3课时）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

2.3.3二次根式的混合运算（第3课时） 导学案 1.理解并应用二次根式的四则运算法则，体会转化思想，提升运算能力. 2.掌握混合运算的步骤和策略，运用分类讨论思想和整体思想，提升逻辑思维能力. 3.解决实际问题，培养数学建模思想，提升问题解决能力和合作意识. 重点：理解并运用二次根式四则运算的核心法则，掌握混合运算的步骤顺序. 难点：在混合运算中，二次根式的化简与合并，特别是分母有理化在混合运算中的应用. 第一环节 自主学习 温故知新： 本节课将进入二次根式的混合运算的学习，先回顾以下知识点： 1、最简二次根式的判断标准： ①被开方数______分母 ②被开方数______开得尽的因数或因式 2、同类二次根式： ①先将二次根式化到______ ②再对比____________是否一致 3、二次根式的乘除法则： ①乘法法则： ②除法法则： 4、同类二次根式的加减法则：①__________相加减②__________和__________保持不变. 新知自研：自研课本第45-46页的内容. 【学法指导】 自研课本P44页尝试思考上方的内容，完成下列问题： 1.观察下列两个式子，回答以下问题. ① ​； ② ​. （1）若要计算以上两个式子，需要解决的问题主要是：①部分分数的__________有根号，导致通分困难；②部分二次根式需要__________. （2）仔细观察小明对①式的计算步骤，填写完整相应的部分： （分母含有无理数的分式，__________同乘它的_______________） （化为同分母分数相加） （3）在该计算过程中，分子分母同乘是为了_______________——将分母中的无理数化为有理数2 2. 请你尝试用不同的方式计算. 解：方法一：先化简再合并 方法二：统一成根号内的运算 （1）分母有理化的具体操作： ①当式子中的分母为单项式时，只需_______________分母中的无理数； ②当式子中的分母为多项式时，则需要借助_______________，化无理式为有理式. （2）分母有理化的意义：分母有理化是数学中的一种重要变形方法，其核心意义在于将分母中含有的__________（如根号形式）转化为__________，从而简化表达式、方便后续的计算和分析. （3）计算的正确结果是（ ） A. ​​ B. C. ​​ D. （4）计算正确结果是（ ） A. B. C. ​ D. 3.尝试完成以下例题. （1） （2）​ （3） （4）​. 4.对于（3）的计算，你还有其他方法吗？ 解：先化简括号内的式子，在进行除法运算 第二环节 合作探究 小组群学 先自研课本P45页的内容,在小组长的带领下，思考以下问题： 1.化简​，其中，。你是怎么做的？ 解：①要想简化此题，手要先进行__________ ②将以上式子化到最简后，再带值求解 将，代入化简后的式子可得： 2.类似以上的问题，通常先化简，再将已知的值代入，不仅能够__________，更能够提升正确率. 3.如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。 （1）求梯形ABCD的周长。 （2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 4.一般在计算图形的面积时，有以下方法： ①整体法：____________________________________________________________________________. ②切割法：__________________________________________________________________________. 5. 对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6.归纳总结二次根式混合运算的步骤以及分母有理化的过程（随堂笔记部分） 7.拓展提升  某社区需要规划一个梯形绿化区，其尺寸如下（单位：米）：上底是 ，下底为 ，高为 ，在绿化区内需修建一个矩形水池，水池长为 ，宽为 ，水池边与梯形底边平行.已知 剩余种植面积 为 平方米，但测量发现梯形实际高为 （待定），水池尺寸不变。 （1）当 时，计算梯形绿化区的面积； （2）求 的值，使剩余种植面积恰为 平方米。 1.计算： （1） （2） （3） （4）​。 类型一：混合运算类 1. 计算 2. 类型二：代数式求值类 3. 已知 ，求 值； 类型三：几何应用类 4. 一个长方形的长为 2，宽为 ，求其对角线的长度. 类型四：规律探究类 5. 观察下列等式： ，…则第n个等式是____________________ 1.（2024·湖南） 计算 的结果是（ ） A. B. ​C. ​ D. 2.（2024·天津） 计算 的结果为（ ） A. B. ​ C. D. ​​3.（2024·四川） 已知 ，化简 的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 4. （2024·江苏） 矩形相邻边长分别为 cm、cm，设面积 ，则 在（ ） A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 2.3.3 二次根式的混合运算 1. 二次根式的的混合运算的步骤：①_______________ ②__________③_______________ 2. 分母有理化：___________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.3二次根式的混合运算（第3课时） 导学案 1.理解并应用二次根式的四则运算法则，体会转化思想，提升运算能力. 2.掌握混合运算的步骤和策略，运用分类讨论思想和整体思想，提升逻辑思维能力. 3.解决实际问题，培养数学建模思想，提升问题解决能力和合作意识. 重点：理解并运用二次根式四则运算的核心法则，掌握混合运算的步骤顺序. 难点：在混合运算中，二次根式的化简与合并，特别是分母有理化在混合运算中的应用. 第一环节 自主学习 温故知新： 本节课将进入二次根式的混合运算的学习，先回顾以下知识点： 1、最简二次根式的判断标准： ①被开方数不含分母 ②被开方数不含开得尽的因数或因式 2、同类二次根式： ①先将二次根式化到最简 ②再对比被开方数是否一致 3、二次根式的乘除法则： ①乘法法则： ②除法法则： 4、同类二次根式的加减法则：①系数相加减②被开方数和根指数保持不变. 新知自研：自研课本第45-46页的内容. 【学法指导】 自研课本P44页尝试思考上方的内容，完成下列问题： 1.观察下列两个式子，回答以下问题. ① ​； ② ​. （1）若要计算以上两个式子，需要解决的问题主要是：①部分分数的分母有根号，导致通分困难；②部分二次根式需要化简 （2）仔细观察小明对①式的计算步骤，填写完整相应的部分： （分母含有无理数的分式，分子分母同乘它的无理数部分） （化为同分母分数相加） （3）在该计算过程中，分子分母同乘是为了“分母有理化”——将分母中的无理数化为有理数2 2. 请你尝试用不同的方式计算. 解：方法一：先化简再合并 方法二：统一成根号内的运算 =2= ==2= （1）分母有理化的具体操作： ①当式子中的分母为单项式时，只需分子分母同乘分母中的无理数； ②当式子中的分母为多项式时，则需要借助平方差公式，化无理式为有理式. （2）分母有理化的意义：分母有理化是数学中的一种重要变形方法，其核心意义在于将分母中含有的无理数（如根号形式）转化为有理数，从而简化表达式、方便后续的计算和分析. （3）计算的正确结果是（A） A. ​​ B. C. ​​ D. （4）计算正确结果是（A ） A. B. C. ​ D. 3.尝试完成以下例题. （1） （2）​ （3） （4）​. 解：（1） （2） （3） （4）； 4.对于（3）的计算，你还有其他方法吗？ 解：先化简括号内的式子，在进行除法运算 === 第二环节 合作探究 小组群学 先自研课本P45页的内容,在小组长的带领下，思考以下问题： 1.化简​，其中，。你是怎么做的？ 解：①要想简化此题，手要先进行化简 =-=- ②将以上式子化到最简后，再带值求解 将，代入化简后的式子可得： -7=-14=-13 2.类似以上的问题，通常先化简，再将已知的值代入，不仅能够简化计算，更能够提升正确率. 3.如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。 （1）求梯形ABCD的周长。 （2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 解：（1）周长是四边长度之和， AD=6，BC=， ， ​ （2）方法1：“梯形公式法”（直接数底和高） 梯形面积公式： ，，高= 代入公式得： 方法2：“分割法”（数完整格子） 将梯形分割为“矩形+两个直角三角形”，分别数各部分的格子数： 中间矩形：以上底CD为长，以高为宽，面积=6； 左右三角形：面积分别为= 总面积3+6+9=18。 4.一般在计算图形的面积时，有以下方法： ①整体法：可直接用面积公式求出，也可以利用填补的思路，看作一个规则图形，在把填补的部分减去 ②切割法：将图形切割为几个比较好求的部分，再计算出其面积即可. 5. 对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？ 数的扩充是“解决矛盾”的必然结果；数的扩充保持“运算一致性”； 数的扩充提升“描述准确性”；数的扩充体现“严谨性”的提升（回答合理即可） 6.归纳总结二次根式混合运算的步骤以及分母有理化的过程（随堂笔记部分） 7.拓展提升  某社区需要规划一个梯形绿化区，其尺寸如下（单位：米）：上底是 ，下底为 ，高为 ，在绿化区内需修建一个矩形水池，水池长为 ，宽为 ，水池边与梯形底边平行.已知 剩余种植面积 为 平方米，但测量发现梯形实际高为 （待定），水池尺寸不变。 （1）当 时，计算梯形绿化区的面积； （2）求 的值，使剩余种植面积恰为 平方米。 解：（1）当 时， （2） 1.计算： （1） （2） （3） （4）​。 解：（1）原式= （3）原式= （4）原式= 类型一：混合运算类 1. 计算 2. 解1.原式= 2.原式= 类型二：代数式求值类 3. 已知 ，求 值； 解：先化简 代入可得 类型三：几何应用类 4. 一个长方形的长为 2，宽为 ，求其对角线的长度. 解：长方形的对角线可用勾股定理来求， 根据勾股定理， 对角线长为. 类型四：规律探究类 5. 观察下列等式： ，…则第n个等式是 1.（2024·湖南） 计算 的结果是（A ） A. B. ​C. ​ D. 2.（2024·天津） 计算 的结果为（ A） A. B. ​ C. D. ​​3.（2024·四川） 已知 ，化简 的结果为（D ） A. 1 B. C. D. 4. （2024·江苏） 矩形相邻边长分别为 cm、cm，设面积 ，则 在（ C） A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 2.3.3 二次根式的混合运算 1. 二次根式的的混合运算的步骤：①分母有理化 ②先乘除后加减 ③结果要化简 2. 分母有理化：分子分母同乘分母中的无理式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$