18.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 一、利用勾股定理的逆定理求解 1.若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A.84 B.87.5 C.168 D.300 2.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（   ） A.1，， B.4，7，5 C.5，13，12 D.2，3， 3.已知三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积为（    ） A.12 B.6 C.30 D.15 4.一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为     ． 5.在中，若，则∠      ． 6.某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量，，，．    (1)求氢能源环保电动步道的长； (2)证明：． 7.上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积． 二、勾股数 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A. B. C. D. 2.下列各组数中，是勾股数的是（    ） A.1，2，3 B.，， C.6，8，10 D.10，20，24 3.下列四组数据是勾股数的是（    ） A.2，3，4 B.0.3，0.4，0.5 C.8，11，12 D.6，8，10 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为          ． 5.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是            （结果用含m的式子表示）． 6.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 7.阅读材料并解答问题： 我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”． 关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法： 方法：若为奇数，则，和是勾股数． 方法：若任取两个正整数和，则，，是勾股数． (1)在以上两种方法中任选一种，证明以，，为边长的是直角三角形； (2)请根据方法和方法按规律填写下列表格： (3)某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为米，如果每个三角形最短边上都植棵树，且每个三角形的各边长之比为，那么这四个直角三角形的边长共需植树________棵．    三、勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用 1.如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（    ） A.南偏东30° B.南偏东40° C.南偏东50° D.南偏东60° 2.某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A.40800元 B.91600元 C.60800元 D.48000元 3.如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A. B. C. D. 4.我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是          平方丈 5.如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为       ． 6.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 7.如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库，无法直达．A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C，为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得千米，千米，千米． (1)新公路是否为村庄A到高速公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)求村庄A到县城C的直线距离（即线段的长）． 四、判断三边能否构成直角三角形 1.下列说法中，正确的有（   ） ①如果是直角三角形，那么 一定成立； ②如果不是直角三角形，那么 ③中，如果 那么是直角三角形； ④中， 如果 ，那么不是直角三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（　　） ①8、15、17；②4、5、6；③7.5、4、8.5；④24、25、7；⑤5、8、10． A.①②④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①③④ 3.在综合实践活动课上，小明用三根木棒首尾顺次相接摆三角形．下列每组数分别是三根木棒的长度（单位：cm），其中能摆出直角三角形的一组是（    ） A.4，4，7 B.32，42，52 C.9，12，15 D.6，7，8 4.若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是        ． 5.勾股定理：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么      ；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是      ． 6.如图，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1. (1)分别求出线段AB，CD的长度； (2)在图中画出线段EF，使得EF的长为，用AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，请说明理由. 7.已知：如图，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和． 求证：这三个正方形的边构成的是直角三角形． 沪科版八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固（参考答案） 一、利用勾股定理的逆定理求解 1.若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A.84 B.87.5 C.168 D.300 【答案】A 【解析】∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴面积为∶． 故选A． 2.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（   ） A.1，， B.4，7，5 C.5，13，12 D.2，3， 【答案】B 【解析】A．，是直角三角形，故本选项不符合题意； B．，不是直角三角形，故本选项符合题意； C．，是直角三角形，故本选项不符合题意； D．，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3.已知三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积为（    ） A.12 B.6 C.30 D.15 【答案】B 【解析】解：∵， ∴三角形是直角三角形， ∴， 故选B． 4.一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为     ． 【答案】/150平方厘米 【解析】三角形的三边长的比为， 设三角形的三边长分别为，，． 其周长为， ，解得， 三角形的三边长分别是15，20，25． ， 此三角形是直角三角形， ． 故答案为：． 5.在中，若，则∠      ． 【答案】 【解析】∵， ∴，故满足勾股定理， ∴为的斜边， ∴， 故填：． 6.某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量，，，．    (1)求氢能源环保电动步道的长； (2)证明：． 【答案】（1）解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴氢能源环保电动步道的长是15． （2）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 7.上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积． 【答案】解：在中，， 由勾股定理得： ， ， ， ， ∴四边形的面积： ， 答：该庄的面积为234． 二、勾股数 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 2.下列各组数中，是勾股数的是（    ） A.1，2，3 B.，， C.6，8，10 D.10，20，24 【答案】C 【解析】A：，不是勾股数，不符合题意， B：，但不是整数，因此不是勾股数，不符合题意； C：，是勾股数，符合题意； D：，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 3.下列四组数据是勾股数的是（    ） A.2，3，4 B.0.3，0.4，0.5 C.8，11，12 D.6，8，10 【答案】D 【解析】解：A选项中22+3242，不能构成直角三角形，不符合题意； B选项中0.32+0.42＝0.52，但是三边不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； C选项中不能构成直角三角形，不符合题意； D选项中62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，符合题意． 故选：D． 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为          ． 【答案】5 【解析】当4是直角边时， ∵， ∴， 当4是斜角边时， （不是整数，舍去）， 故答案为：5． 5.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是            （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【解析】∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 6.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 【答案】解：（1）由图表可以得出： ∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1， n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1， n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1， n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1， ∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50； 故答案为：14，48，50； （2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1； 故答案为：2n，n2-1，n2+1； （3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1， c2=（n2+1）2=n4+2n2+1， ∴a2+b2=c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 7.阅读材料并解答问题： 我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”． 关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法： 方法：若为奇数，则，和是勾股数． 方法：若任取两个正整数和，则，，是勾股数． (1)在以上两种方法中任选一种，证明以，，为边长的是直角三角形； (2)请根据方法和方法按规律填写下列表格： (3)某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为米，如果每个三角形最短边上都植棵树，且每个三角形的各边长之比为，那么这四个直角三角形的边长共需植树________棵．    【答案】（1）解：方法1、，， 所以，． 而 ， 所以以、、为边的三角形是直角三角形． 同理可证方法2． （2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41． 方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26． （3）各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树， 三角形最短边为5米， 又各边长之比为， 其他两边分别为12、13米． 每个三角形的边长可植树棵， 四个直角三角形的边长共需植树120棵． 三、勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用 1.如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（    ） A.南偏东30° B.南偏东40° C.南偏东50° D.南偏东60° 【答案】A 【解析】如图 由题意可得 是直角三角形，即， 所以乙船的航行方向是南偏东30°. 故选：A. 2.某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A.40800元 B.91600元 C.60800元 D.48000元 【答案】A 【解析】连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 3.如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 4.我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是          平方丈 【答案】 【解析】根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 5.如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为       ． 【答案】/96平方米 【解析】连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 中，； ∵， ∴， ∴． 故答案为： 6.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】解：连接AC，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°， ∴AC==5m， 又∵CD＝12m，DA＝13m， 满足， ∴∠ACD=90°， ∴，， ， 费用（元）． 答：铺满这块空地共需花费2880元． 7.如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库，无法直达．A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C，为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得千米，千米，千米． (1)新公路是否为村庄A到高速公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)求村庄A到县城C的直线距离（即线段的长）． 【答案】（1）解：∵， ∴是直角三角形 ∴ 故：新公路是村庄A到高速公路的最近路 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴， 解得： ∴村庄A到县城C的直线距离为 四、判断三边能否构成直角三角形 1.下列说法中，正确的有（   ） ①如果是直角三角形，那么 一定成立； ②如果不是直角三角形，那么 ③中，如果 那么是直角三角形； ④中， 如果 ，那么不是直角三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①如果是直角三角形，且是斜边，那么一定成立；故①不正确； ②不是直角三角形，则任何两边的平方和都不等于第三边的平方，故②正确； ③， ， 是直角三角形，故③正确； ④中，如果，且是最长边，那么不是直角三角形，故④不正确； 综上所述，正确的说法有2个， 故选：B． 2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（　　） ①8、15、17；②4、5、6；③7.5、4、8.5；④24、25、7；⑤5、8、10． A.①②④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①③④ 【答案】D 【解析】①82+152=172，故能构成直角三角形； ②42+52≠62，故不能构成直角三角形； ③7.52+42=8.52，故能构成直角三角形； ④242+72=252，故能构成直角三角形； ⑤52+82≠102，故不能构成直角三角形． 所以能构成直角三角形的是①③④． 故选D． 3.在综合实践活动课上，小明用三根木棒首尾顺次相接摆三角形．下列每组数分别是三根木棒的长度（单位：cm），其中能摆出直角三角形的一组是（    ） A.4，4，7 B.32，42，52 C.9，12，15 D.6，7，8 【答案】C 【解析】A、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，符合题意； D、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 4.若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是        ． 【答案】直角三角形 【解析】因为， 所以边长为6，8，10的三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 5.勾股定理：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么      ；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是      ． 【答案】 直角三角形 【解析】勾股定理的内容是如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么； 勾股定理的逆定理内容是如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形； 故答案为：，直角三角形． 6.如图，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1. (1)分别求出线段AB，CD的长度； (2)在图中画出线段EF，使得EF的长为，用AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，请说明理由. 【答案】(1) (2)如图,   ∵ ∴ ∴以AB、CD、EF三条线可以组成直角三角形． 7.已知：如图，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和． 求证：这三个正方形的边构成的是直角三角形． 【答案】∵最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和 ∴ ∴是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$