18.2 《勾股定理的逆定理》课件　2024-2025学年沪科版数学八年级下册

18.2 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的内容是什么? 复习回顾 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4 ② a＝2.5，b＝6 ③ a＝4，b＝7.5 c=5 c=6.5 c=8.5 思考：分别以上述a、b、c为边的三角形的形状是什么样的呢？ A B C a b c 前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？ 新课导入 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. 形 结论：a2 + b2 = c2. 题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c. 数 A C B a b c 反过来，如果一个三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的？ 结论：这个三角形是直角三角形. 题设(条件)：三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 结论能成立吗？ 据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 知识点1： 勾股定理的逆定理 探究新知 3 4 5 这个三角形三边有什么关系吗？ 32 + 42 = 52 结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形，用命题形式表述. 如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理 这是判定直角三角形的一个依据. 形 数 思维轴 1 找 2 算 3 判 最长边 算出两短边的平方和与最长边的平方 判断等量关系 最长边为斜边，其所对应的角为直角 利用边的关系判断直角三角形 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 15，b = 8，c = 17； (2) a = 13，b = 14，c = 15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 答案：(1) 是直角三角形. (2) 不是直角三角形. 知识点2： 勾股数 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 像8，15，17这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 常见勾股数： 勾股数 3，4，5 9，12，15 6，8，10 5，12，13 7，24，25 9，40，41 10，24，26 8，15，17 14，48，50 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；10，24，26 ；11，60，61； 12，35，37；13，84，85 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5 6，8，10 扩大 2 倍 这两个命题的题设、结论分别是什么？ 命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形． 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2+b2 = c2． 题设 结论 题设 结论 知识点3： 互逆命题与互逆定理 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 题设A 结论B ① 题设B 结论A ② 原命题 逆命题 互逆命题 互逆命题 互为逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.如：勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 注意 (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 原命题 逆命题 定理 逆定理 推出 推出 证明 归纳总结 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 特别说明 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理 A B C c b a 几何语言： 例1:下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ， b=14 ， c=15; (4) a:b: c=3:4:5; 例题讲解 (3) a=1 ， b=2 ， c= ; 1.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为 ，并说明理由。 3.给你一根带有刻度的皮尺，你如何来用它判断方桌面的角是直角？ 2.以三角形的三边为边分别向形外作正方形，三个正方形面积分别是40，15，25，判断此三角形的形状。 A B C D 小试牛刀 课堂练习 $$