精品解析：山西省临汾市侯马市第五中学2024-2025学年下学期八年级6月月考数学试题

2024—2025学年度第二学期素养形成第二次能力训练 初二数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 2. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，测得，，则该菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是关键． 根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由周长的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴菱形的周长为， 故选：B ． 3. 在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键．一组邻边相等时矩形为正方形．对角线垂直的矩形是正方形． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．一组邻边相等时矩形为正方形． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：． 故选：A． 4. 如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 故选B． 5. 下面是嘉淇同学的不完整的推理过程： ， ． 又 ※ 为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得， 仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形， 故A选项不合题意； 添加后可得， 满足一组对边平行且相等， 可证四边形是平行四边形， 故B选项符合题意； 添加后，， 四边形为等腰梯形，不是平行四边形． 故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等， 不能证明四边形是平行四边形． 故D选项不合题意； 故选B． 6. 如图1，平行四边形中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都可以 D. 甲、乙都不可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；方案甲，连接，由平行四边形的性质得，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确． 【详解】解：方案甲，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故方案乙正确； 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的周长为8，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解决问题是关键．连接交于点，根据菱形的性质得到，，再结合菱形的周长和勾股定理得到，从而得出点的坐标，再代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 菱形的顶点是坐标原点，， ，，， 菱形的周长为8， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 8. 如图，明明将家中地砖中心的图案（由大小相同的菱形和正方形组成）绘制到平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，点的坐标，勾股定理，先根据地砖中心的图案是由大小相同的菱形和正方形组成，点的坐标为，得出菱形和正方形的边长为， 结合勾股定理得正方形的对角线；再根据在第二象限的点的特征进行作答即可． 【详解】解：过点 作轴，如图所示： ∵地砖中心的图案是由大小相同的菱形和正方形组成，点的坐标为， ∴菱形和正方形的边长为， 故正方形的对角线； ∴， ∵点 在第二象限， ∴点 的坐标为， 故选：D 9. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠使点D落在点处，与 交于点F，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行和翻折相结合，考查到的知识点有：翻折，平行性质，勾股定理，同高不等底的两三角形的面积比．难点在于如何证明． 由翻折知，，则，故，在中，由，求出6 ，进而求解． 【详解】解：由翻折知，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ， 则的值为， 故选：A． 10. 在等边三角形中，，射线，点 从点出发，沿射线以的速度运动，同时点 从点 出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点 在 的左侧时与当点 在 的右侧时去分析，由当时，以为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点 在 的左侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； ②当点 在 的右侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； 综上可得：当或时，以为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在四边形中，，，则四边形是_____（填四边形名称）． 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． 12. 如图，正方形，正方形，正方形的顶点A，，和O，C，，分别在一次函数的图象和x轴上，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标与图形的规律计算，掌握一次函数与几何图形的综合运用，找出规律是解题的关键． 根据题意得到，，同理，，，则点 的横坐标的规律是：，纵坐标的规律是：，由此即可求解． 【详解】解：一次函数，令 ，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， 同理，，， ∴点 的横坐标的规律是：，纵坐标的规律是：， ∴， 故答案为：． 13. 如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，进而求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解： 等边的边长为，将向右平移到的位置， cm，, 四边形是菱形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，求得是解题的关键． 14. 点 是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，， ，点P，Q分别是， 上的动点，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理，垂线段最短等知识，连接，交于点O，先利用勾股定理求出，作于点H，由线段垂直平分线的性质得出，得出当D，P，Q三点共线且时，的值最小，即的长，最后根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，且垂直平分， ∵，， 则 在中， 根据勾股定理， ∴． 作于点H， ∵垂直平分， ∴， 则， 当D，P，Q三点共线且时，的值最小，即的长． ∵菱形的面积 ∵，，， ∴ 解得：． ∴的最小值是． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明计程或演算步骤） 16. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 17. 如图，在中，点分别在边上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明： 四边形是平行四边形， ．① ， ，② 在与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】（1）②， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴. 在和中， ， ∴； （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），根据平行四边形的性质得，再根据可得，然后根据“边角边”得出答案； 对于（2），先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：.（答案不唯一） ∵，， ∴四边形是平行四边形. 当时， ∴四边形是矩形. 故答案为：.（答案不唯一） 18. 如图，在正方形中，点E在上，延长到点F，使，连接．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，明确题意、灵活利用相关知识是解答本题的关键． 根据正方形的性质和全等三角形的性质可以得到、的长以及的度数，然后根据勾股定理即可得到的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在四边形中，点 为的中点，连接，并延长交的延长线于点 ，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明： 点 为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点 为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点 为的中点可得，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， 四边形是平行四边形， ， 点 为的中点，， ， ． 20. 如图，在方格网中已知和点 ，且的三个顶点、 、 和点 都在方格点上，请完成以下作图． （1）请在左图的方格网中画出，使得和关于点 成中心对称； （2）请在右图的方格网中标出所有使以点， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形的 点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）分以，为对角线两种情况，结合平行四边形的判定确定点 即可． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求． ． 【小问2详解】 解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形； 当以为对角线时，四边形为平行四边形． 则点和均为满足题意的点 ． 21. 【综合与实践】 （1）如图1，在正方形中，点 、 分别在、 的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题解决】 （2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点 作于点，过点 作于点 ，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 【答案】（1）=；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）先证明四边形是正方形得到、、，再证明；如图：过点C作于点H，易证可得、，再证明，进而得到，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：=； （2）∵ ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 如图：过点C作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴． 22. 【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； （2）钝角三角形的“矩形框”有___________个； （3）如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 【答案】（1） （2）1 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键． （1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当 与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案； 【小问1详解】 解：∵矩形为的“矩形框” ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为：1 【小问3详解】 解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为； 当 与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为或． 23. 【类比学习】在八年级上学期，我们学习了全等三角形后，发现有些试题通过构造全等三角形，再利用全等三角形的性质就可以解决这类几何问题．本学期我们学习平行四边形，现在我们一起研究，通过构造平行四边形解决某类几何问题． 例：如图1，在中，，，，，求的值． 通过同学们的思考与交流，归纳以下四种构造平行四边形方法： 思路一：如图2，过点 作，可以构造平行四边形，得，，，由勾股定理得，即； 思路二：如图3，过点 作； 思路三：如图4，过点作； 思路四：如图5，过点 作． 【迁移应用】利用在上述案例中学到的知识与方法，解决以下问题： （1）如图6，、相交于点，，，，，垂足为；求的值； （2）在中，， 、 分别为线段上一点，，，交于点 ． ①根据题意在图7上补全图形； ②直接写出的度数； ③猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）①见解析；②；③，见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）过点 作，交的延长线于点 ，证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理即可解答； （2）①按照题意补全图形即可； ②过点 作，且，连接、，证明，得到为等腰直角三角形，即可得到，再证明四边形为平行四边形即可解答； ③根据②的解题过程即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点 作，交的延长线于点 ， ，， 四边形是平行四边形， ，． ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：①根据题意补全图形，如图2； ②如图，过点 作，且，连接、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 四边形为平行四边形， ， ； ③是等腰直角三角形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期素养形成第二次能力训练 初二数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 2. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，测得，，则该菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下面是嘉淇同学的不完整的推理过程： ， ． 又 ※ 为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，平行四边形中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都可以 D. 甲、乙都不可以 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的周长为8，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，明明将家中地砖中心的图案（由大小相同的菱形和正方形组成）绘制到平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠使点D落在点处，与 交于点F，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 在等边三角形中，，射线，点 从点出发，沿射线以的速度运动，同时点 从点 出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在四边形中，，，则四边形是_____（填四边形名称）． 12. 如图，正方形，正方形，正方形的顶点A，，和O，C，，分别在一次函数的图象和x轴上，则的坐标是______． 13. 如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为______． 14. 点 是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 15. 如图，在菱形中，， ，点P，Q分别是， 上的动点，则的最小值是____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明计程或演算步骤） 16. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 17. 如图，在中，点分别在边上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明： 四边形是平行四边形， ．① ， ，② 在与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由） 18. 如图，在正方形中，点E在上，延长到点F，使，连接．若，求的长． 19. 如图，在四边形中，点 为的中点，连接，并延长交的延长线于点 ，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在方格网中已知和点 ，且的三个顶点、 、 和点 都在方格点上，请完成以下作图． （1）请在左图的方格网中画出，使得和关于点 成中心对称； （2）请在右图的方格网中标出所有使以点， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形的 点． 21. 【综合与实践】 （1）如图1，在正方形中，点 、 分别在、 的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题解决】 （2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点 作于点，过点 作于点 ，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 22. 【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； （2）钝角三角形的“矩形框”有___________个； （3）如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 23. 【类比学习】在八年级上学期，我们学习了全等三角形后，发现有些试题通过构造全等三角形，再利用全等三角形的性质就可以解决这类几何问题．本学期我们学习平行四边形，现在我们一起研究，通过构造平行四边形解决某类几何问题． 例：如图1，在中，，，，，求的值． 通过同学们的思考与交流，归纳以下四种构造平行四边形方法： 思路一：如图2，过点 作，可以构造平行四边形，得，，，由勾股定理得，即； 思路二：如图3，过点 作； 思路三：如图4，过点作； 思路四：如图5，过点 作． 【迁移应用】利用在上述案例中学到的知识与方法，解决以下问题： （1）如图6，、相交于点，，，，，垂足为；求的值； （2）在中，， 、 分别为线段上一点，，，交于点 ． ①根据题意在图7上补全图形； ②直接写出的度数； ③猜想与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $