专题23.2 中心对称图形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

专题23.2 中心对称图形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点引入1】 1 知识点（一）中心对称 1 【题型1】中心对称的识别 2 【知识点引入2】 2 知识点（二）中心对称的性质 3 【题型2】利用中心对称的性质求值证明 3 【知识点引入3】 4 知识点（三）中心对称图形 4 【题型3】轴对称图形与中心对称图形的识别 4 【题型4】对称中心的判定 4 【题型5】对称中心的规律探究 5 知识点（四）平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标 6 【题型6】关于原点对称点的坐标 6 【题型7】平面直角坐标系中成轴对称问题 7 【题型8】关于原点对称点的坐标综合问题 8 二. 同步练习 9 【基础巩固（16题）】 9 【能力提升（16题）】 12 【中考真题8题】 16 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点引入1】 【例】观察上面图形，其中是绕点旋转，你会发现形成两个图形时有什么特点？. 知识点（一）中心对称 像这样，把一个平面图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.中心对称是旋转的特殊情况，即旋转. 【题型1】中心对称的识别 【例题1】（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【知识点引入2】 【例】（2025·安徽蚌埠·二模）在6×6的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． 在图中画出关于点O 成中心对称的，使点A，B分别与点 D，E对应． 知识点（二）中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【题型2】利用中心对称的性质求值证明 【例题2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，点M、N分别为边上的点，过矩形的对称中心O，且．若点G、H分别在边上，且将矩形的面积四等分，则的长为 ． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，求的长； （2）连接，证明四边形是平行四边形 【知识点引入3】 【例】观察上面四幅图形，进行旋转时图形上各部分有什么共同特点？ 如图所示，每个图形按各顶点对角线交点旋转后和原来的图形完全重合. 知识点（三）中心对称图形 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【题型3】轴对称图形与中心对称图形的识别 【例题3】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ．（填写序号） 【题型4】对称中心的判定 【例题4】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： （1）应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 （2）应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【题型5】对称中心的规律探究 【例题5】（2025·江西上饶·一模）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是 ． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点（四）平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标 在平面直角坐标系中，设点，则关于原点对称点的坐标为，即关于原点对称点的坐标横坐标、纵坐标互为相反数. 【题型6】关于原点对称点的坐标 【例题6】（24-25九年级上·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． （1）写出点B，D的坐标； （2）你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【题型7】平面直角坐标系中成轴对称问题 【例题7】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象绕坐标原点旋转度后的一次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型8】关于原点对称点的坐标综合问题 【例题8】（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小，并写出点P的坐标． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，已知直线：与：都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则直线的解析式是 ． 【变式2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为 ． 【变式3】（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，，则点的坐标为 ．    二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东河源·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 5．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 6．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，这是的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 二、填空题 7．（2025·青海·三模）①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形．上述图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （填序号）． 8．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知点关于原点对称的点在第一象限，那么的取值范围是 ． 9．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）已知平行四边形的两条对角线相交于直角坐标系的原点，点的坐标分别为，则的坐标分别为 ． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，则点D的坐标为 ． 12．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 14．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． （1）找出它们的对称中心． （2）若，则的度数为______． （3）若，，，的周长为______． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． （1）直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； （2）若，，求线段的取值范围． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）点的坐标为______，点的坐标为______． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·北京通州·期末）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 3．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·湖南邵阳·二模）如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 6．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ，（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 9．（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为 ． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，与关于点O成中心对称，的平分线交于点D，若，，则的周长为 ．    三、解答题 13．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，已知：点，，，的对角线交于坐标原点O． （1）求出的值； （2）求出的面积． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． （1）画出； （2）已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 15．（24-25八年级下·福建宁德·期末）某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． （1）图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在上，求线段的长； （2）图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 16．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，在平而直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点O顺针旋转90°，得． （1）某抛物线经过点、B、，求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 ． 三、解答题 7．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 8．（2023·四川广安·中考真题）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．     2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.2 中心对称图形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点引入1】 1 知识点（一）中心对称 1 【题型1】中心对称的识别 2 【知识点引入2】 3 知识点（二）中心对称的性质 4 【题型2】利用中心对称的性质求值证明 4 【知识点引入3】 7 知识点（三）中心对称图形 7 【题型3】轴对称图形与中心对称图形的识别 7 【题型4】对称中心的判定 9 【题型5】对称中心的规律探究 11 知识点（四）平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标 14 【题型6】关于原点对称点的坐标 14 【题型7】平面直角坐标系中成轴对称问题 15 【题型8】关于原点对称点的坐标综合问题 19 二. 同步练习​ 23 【基础巩固（16题）】 23 【能力提升（16题）】 33 【中考真题8题】 46 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点引入1】 【例】观察上面图形，其中是绕点旋转，你会发现形成两个图形时有什么特点？. 知识点（一）中心对称 像这样，把一个平面图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.中心对称是旋转的特殊情况，即旋转. 【题型1】中心对称的识别 【例题1】（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【知识点引入2】 【例】（2025·安徽蚌埠·二模）在6×6的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． 在图中画出关于点O 成中心对称的，使点A，B分别与点 D，E对应． 解：步骤： （1）连接AO并延长AO至点D，使DO=AO，得到点A关于点O的对称点D，同法作点B、点C关于点O的对称点E、F； （2）连接DE、EF、DF； 则即为所求． 通过以上作图我们易知： 知识点（二）中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【题型2】利用中心对称的性质求值证明 【例题2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中心对称图形的性质求解即可． 解：因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，且选项中各图形可看作是由两个平行四边形构成的， 所以只要直线经过两个平行四边形的对称中心，即可这个图形分成面积相等的两个部分，观察可得，选项BCD符合题意， 故选：A． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，点M、N分别为边上的点，过矩形的对称中心O，且．若点G、H分别在边上，且将矩形的面积四等分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，中心对称图形的性质，根据题意求出，根据中心对称的性质可得点为的中点，，由将矩形的面积四等分，得到，即可得到，进而求出，设，则，由即可求解． 解：如图，连接， 在矩形中，，则， ∵， ∴， 矩形是中心对称图形，过矩形的对称中心O， ∴，点为的中点， ∴， ∵将矩形的面积四等分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，求的长； （2）连接，证明四边形是平行四边形 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出根据中心对称的性质得出； （2）先由得出，再利用“角角边”定理证明，得出，再结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形为平行四边形． 解：（1）解： ， ， 点O为平行四边形的对称中心． ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵． ∴四边形为平行四边形． 【知识点引入3】 【例】观察上面四幅图形，进行旋转时图形上各部分有什么共同特点？ 如图所示，每个图形按各顶点对角线交点旋转后和原来的图形完全重合. 知识点（三）中心对称图形 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【题型3】轴对称图形与中心对称图形的识别 【例题3】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形（沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后能与自身重合）的定义． 根据轴对称图形定义判断各选项是否为轴对称图形；依据中心对称图形定义判断各选项是否为中心对称图形；筛选出同时满足两种对称特征的选项． 解：选项A：该图形沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，因此A既是轴对称图形又是中心对称图形． 选项B：该图形是轴对称图形，但绕任一点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项C：该图形是轴对称图形，但绕任一点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项D：该图形绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，但不存在一条直线使图形沿其折叠后完全重合，不是轴对称图形． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ．（填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义、特殊四边形的定义、等边三角形的定义逐项判断即可得． 解：①菱形既是中心对称图形又是轴对称图形； ②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； ③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形； ④平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； ⑤线段既是中心对称图形又是轴对称图形； 故答案为：①③⑤． 【题型4】对称中心的判定 【例题4】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案． 解：如图，连接， ∴其中是平行四边形中心的是点； 故选：B 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： （1）应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 （2）应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 解：（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 【题型5】对称中心的规律探究 【例题5】（2025·江西上饶·一模）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，即可求解． 解：∵这个点的横坐标从开始依次减少， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 【变式2】（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标． 解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ，， 是直角三角形， ， ， 解得：， 正方形的边长为， 点的坐标是， 正方形绕点顺时针旋转，每次旋转， 又， 正方形绕点顺时针旋转次回到出发点， ， 正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称， 将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为 故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标． 知识点（四）平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标 在平面直角坐标系中，设点，则关于原点对称点的坐标为，即关于原点对称点的坐标横坐标、纵坐标互为相反数. 【题型6】关于原点对称点的坐标 【例题6】（24-25九年级上·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查关于原点坐标对称的点的坐标的特征，熟练掌握关于原点坐标对称的点的坐标的特征是解题的关键．根据关于原点坐标对称的点的坐标的特征即可得到答案． 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选B． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再相加即可． 解：∵点和关于原点O对称， ∴点B的坐标为点A坐标的相反数，即， ∴，且， 解得：，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． （1）写出点B，D的坐标； （2）你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 解：（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （2）解：，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 【题型7】平面直角坐标系中成轴对称问题 【例题7】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.求出抛物线的顶点是，得到关于的中心对称点为，，分和两种情况分别进行解答即可． 解：∵ ∴抛物线的顶点是， 设关于的中心对称点为， 则， 解得， ∴关于的中心对称点为， ∴，且抛物线：与抛物线：开口方向相反，形状相同，即， 当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，有最大值为4，且， ∴当时，，解得， ∴， 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵当时，而 ∴当时，有最大值，最大值为， 显然，不符合题意， 综上可知，， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象绕坐标原点旋转度后的一次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，先求出直线与轴和轴的交点坐标，进而根据中心对称的性质求出对称点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解，掌握中心对称的性质是解题的关键． 解：当时，， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵一次函数的图象绕坐标原点旋转度， ∴点的对称点为，点的对称点为， 设旋转后的一次函数的表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴旋转后的一次函数的表达式为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出点的坐标，设沿轴正方向平移个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解． 解：根据题意当时，则， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设沿轴正方向平移个单位长度后，得到，连接， 则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即， ∴， 解得：． 故选：B． 【题型8】关于原点对称点的坐标综合问题 【例题8】（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小，并写出点P的坐标． 【答案】（1）见分析；（2）见分析， 【分析】本题主要考查了中心对称变换、最短路径等知识，熟练掌握中心对称的性质、轴对称的性质是解题关键． （1）首先根据中心对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）首先确定点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可确定点P位置，并确定其坐标即可． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求， 点P的坐标为． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，已知直线：与：都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则直线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法与一次函数，掌握待定系数法是解题的关键．一次函数的性质；关于原点对称的点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题． 解：当时，， 解得：， 当时，， ，， ∴， 把代入，则， 把代入， ， 解得：， 直线的解析式为， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换——平移，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象平移规律“横坐标左加右减”，“纵坐标上加下减”，是解题的关键 根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A， ∴当时，， 解得， ∴， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度， ∴平移得到， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式3】（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过点作，与的延长线交于点，过点作轴于点，过作，与的延长线交于点，先证明，再证明，求得点的坐标，便可根据中心对称性质求得点的坐标． 解：过点作，与的延长线交于点，过点作轴于点，过作，与的延长线交于点， ∴， ∵，点的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ， ∵， ∴， ∴点、关于点对称， ∴． 故答案为：．    【点拨】本题考查直角坐标系的特征，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点到原点的距离，中心对称性质，关键在于构造直角三角形与全等三角形． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东河源·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．解题的关键是理解轴对称图形（沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合）和中心对称图形（绕某一点旋转后能与自身重合）的定义，并据此对图形进行判断． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项依次分析：判断图形是否沿某条直线折叠后两旁部分能重合（轴对称），以及是否绕某点旋转后能与自身重合（中心对称），选出同时满足两个条件的图形． 解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后，能与自身重合的图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是中心对称图形，不存在一条直线使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形． 选项沿某条直线折叠后两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，符合条件． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可得出结果，关键是掌握点的坐标的变化规律． 解：根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ，两点关于原点对称． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原点对称，横坐标相反，纵坐标也相反解答即可． 本题考查了原点对称，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 解：根据题意，得点关于原点对称的点的坐标为， 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，三角形中位线定理．根据中心对称图形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∵点M、N分别是的中点，的长度为， ∴， ∴． 故选：C 5．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 6．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，这是的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此即可得出答案． 解：由图形可得当选择①③时，它与阴影部分组成的图形是中心对称图形， 故选：B． 二、填空题 7．（2025·青海·三模）①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形．上述图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （填序号）． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形， ②矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， ③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形， ④线段既是轴对称图形，也是中心对称图形， ⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故答案为：②④⑤． 8．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知点关于原点对称的点在第一象限，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握其性质是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而结合象限内坐标符号特点，即可求解． 解：点关于原点对称的点在第一象限， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）已知平行四边形的两条对角线相交于直角坐标系的原点，点的坐标分别为，则的坐标分别为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与点的坐标的表示、解题的关键是掌握关于原点对称的点的特征，已知点，则其关于原点对称的点的坐标为． 已知平行四边形两条对角线的交点坐标是坐标系的原点，则两条对角线相互平分，故点A与点C、点B与点D关于原点对称，由于已知点A，B的坐标，故可求得C，D的坐标即可． 解：由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称， ∵点A，B的坐标分别为， ∴C，D的坐标分别是， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，轴对称和中心对称图形的性质．根据轴对称和中心对称的性质，得出对称点的坐标关系是解答本题的关键．根据题意，可知A、B两点关于x轴对称，B、D两点关于原点O对称，B、C两点关于y轴对称，然后由轴对称的性质求出A、C、D三点的坐标． 解：长方形的两条对称轴作为x轴，y轴． 、B两点关于x轴对称，，，则点A坐标为； B、C两点关于y轴对称，，，则点C坐标为； B、D两点关于原点O对称，，，则点D坐标为； 故答案为：；；． 12．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质得到，，继而求出 ，再根据勾股定理即可解答． 解：∵和关于点C成中心对称， ∴， ∴， 则． 故答案为：5． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】详见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键是掌握成中心对称的两个图形必定能重合．先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，得，由此即可证明结论． 解：证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． （1）找出它们的对称中心． （2）若，则的度数为______． （3）若，，，的周长为______． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 解：（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． （1）直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； （2）若，，求线段的取值范围． 【答案】（1）相等的线段有，，；点为的中点；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系及中心对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中心对称及全等三角形的性质即可解答； （2）根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 解：（1）解：与关于点成中心对称， ， 相等的线段有，，， 点为的中点； （2）解：， ， ，， ， 在中，， ， ． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）点的坐标为______，点的坐标为______． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）； 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的点、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、、关于原点成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据平面直角坐标系写出点、的坐标． 解：（1）解：如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）由（1）图可知，，由（2）图可知， 故答案为：；． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·北京通州·期末）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；如果将图形旋转后仍与原图形重合，这个图形即是中心对称图形，据此逐项判断即可． 解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项正确； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误； D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误； 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 解：A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故B正确，不符合题意； C、与不是对应角， 不成立，故C错误，符合题意； D、与是对应线段， ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 4．（2024·湖南邵阳·二模）如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由与关于点 O 成中心对称，可得，则，，可判断A；证明，可判断D；由，可得，可判断B；不一定成立，可判断C． 解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴， ∴，，故A不符合要求； ∵，，， ∴，故D不符合要求； ∴， ∴，故B不符合要求； 不一定成立，故C符合要求； 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 6．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质；利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点P的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 解：∵边长为2的等边在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， ∴与点P关于y轴对称， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， ∴与点关于原点对称， ∴． 再将绕点顺时针旋转，得到， 此时点落在x轴的负半轴上， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在x轴的正半轴上， ∴． 以此类推， 则， ∴与点P重合， ∴对应的点 （n大于1的整数）的坐标以为规律循环， ∵余3， ∴与的坐标相同， ∴． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横，纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征列出关于a，b，k的方程组，进而求出的值． 解：∵点与点关于原点对称， ∴， 由，得， 将其代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ，（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称的定义，轴对称，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，能够与另一部分重合的图形；中心对称，一个图形围绕着某一个旋转180度能够与原来的图形重合；旋转图形，一个图形围绕着某一个点旋转任意角度能够与原来的图形重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解：等边三角形，等腰直角三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：③⑤． 9．（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．先把原二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标互为相反数得到对称后二次函数图象的顶点坐标，结合开口方向即可得答案． 解：二次函数图象的顶点坐标为，开口向上， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴关于原点对称后二次函数图象的顶点坐标为，开口向下， ∴关于原点对称后二次函数图象的解析式为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的性质和勾股定理等知识，熟知中心对称的性质是解题的关键； 根据中心对称的性质可得A、C、D三点共线，，，再利用勾股定理求出即可得解． 解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴A、C、D三点共线，，， 则在直角三角形中，， ∴； 故答案为：2. 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据平行四边形的性质及点坐标，可求出点坐标，再由可求出点坐标．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，点为对角线的中点，是对角线， ∴点为的中点，即与相交于点， ∴点为的对称中心， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 又∵，且轴， 即点向左平移个单位得到点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，与关于点O成中心对称，的平分线交于点D，若，，则的周长为 ．    【答案】16 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及中心对称图形的性质，等角对等边等，根据平行四边形的性质和等角对等边得出，确定，结合中心对称图形的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∵与关于点O成中心对称， ∴的周长为16， 故答案为：16． 三、解答题 13．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，已知：点，，，的对角线交于坐标原点O． （1）求出的值； （2）求出的面积． 【答案】（1），；（2）42． 【分析】本题考查坐标与图形的性质，平行四边形的性质． （1）根据中心对称的性质解决问题即可； （2）利用平行四边形的面积计算即可． 解：（1）解：由题意，A，C关于原点对称， ∵，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴边上的高为， ∴的面积． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． （1）画出； （2）已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 【答案】（1）图见分析；（2）， 【分析】本题主要考查了画旋转图形，中心对称的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质以及画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画旋转图形的方法画出即可； （2）由题意得，点与点关于点中心对称，结合中心对称的性质可得，，求出、的值即可． 解：（1）解：如图，即为所求作； （2）解：点随着绕点M旋转得到， 点与点关于点中心对称， ，， ，， 故答案为：，． 15．（24-25八年级下·福建宁德·期末）某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． （1）图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在上，求线段的长； （2）图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、中心对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接交于点，由正方形的性质可得，，，．结合勾股定理可得．证明，得出．求出．进而可得．根据中心对称性，得，即可得解； （2）根据中心对称图形的定义以及正方形的性质，并结合三条线段表示字母“Z”，作出图形即可． 解：（1）解：如图1，连接交于点， 四边形是正方形，且， ，，，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 根据中心对称性，得， ． （2）解：将图案补充完整如图所示： 16．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，在平而直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点O顺针旋转90°，得． （1）某抛物线经过点、B、，求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，掌握运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键． （1）根据坐标与图形以及旋转的性质可得，即，然后再运用待定系数法求解即可； （2）先求得，然后再运用三角形的面积公式解答即可． 解：（1）解：∵，， ∴，， ∵将三角板绕原点O顺针旋转90°得得， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为：， ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵，，， ∴， ∴． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 3．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 4．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 二、填空题 6．（2023·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 三、解答题 7．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 解：（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2023·四川广安·中考真题）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．     【答案】见分析（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可． 解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求； ②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求； ③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求； ④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．    【点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转能够和原图形重合． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$