专题23.1 图形的旋转（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

专题3.2 图形的旋转 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）旋转 1 【题型1】旋转图形的识别 2 【题型2】找旋转中心、旋转角、对应点 2 知识点（二）旋转的性质 3 【题型3】利用旋转的性质作图 4 【题型4】利用旋转的性质求值 5 【题型5】利用旋转的性质证明 5 知识点（三）旋转综合题型 6 【题型6】旋转综合题——线段问题 7 【题型7】旋转综合题——角度问题 7 【题型8】旋转综合题——面积问题 8 二. 同步练习 9 【基础巩固（16题）】 9 【能力提升（20题）】 13 【中考真题12题】 19 一．知识梳理与题型分类精析 观察上面三幅“风车”图形，进行旋转时图形上各部分有什么特点？ 知识点（一）旋转 像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.如图1，线段绕点逆时针旋转后得到线段，这是点是旋转中心，旋转角是，点和点是对应点. 【题型1】旋转图形的识别 【例题1】（2025·贵州铜仁·三模）下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【变式2】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【题型2】找旋转中心、旋转角、对应点 【例题2】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 小结：（1）找旋转中心方法：对应点连线垂直平分线交点就是旋转中心；（2）找旋转角方法：对应点和旋转中心连线的夹角就是旋转角. 知识点（二）旋转的性质 性质1：对应点到旋转中心的距离相等； 性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 性质3：旋转前、后的图形全等. 数学语言： 如图2：绕点逆时针方向旋转一定角度得到，点为旋转中心，点与，与，与分别叫对应点，由旋转的性质我们可以得到： （1） （2） （3） ； 【题型3】利用旋转的性质作图 【例题3】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）（1）画出平移后的图形，使点的对应点坐标为． （2）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的． 【变式1】（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标，将绕点逆时针旋转得到，点对应点分别是，请在图中画出，并写出点的坐标． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图：在正方形网格上有一个． （1）画出关于直线的对称图形； （2）以点N为原点，所在直线为y轴作出平面直角坐标系； （3）画出将绕点A逆时针旋转得到的； （4）在（2）（3） 的条件下， 正方形格子边长为1， 点（ ， ）， 点（ ， ）． 【题型4】利用旋转的性质求值 【例题4】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． （1）求点P与点D之间的距离；（2）求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则 ． 【题型5】利用旋转的性质证明 【例题5】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【变式1】（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【变式2】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 知识点（三）旋转综合题型 1.旋转综合题的核心是“转化”：通过旋转性质将线段、角转化到全等三角形或特殊三角形中，利用等量关系突破； 2.解题时需紧扣“旋转三要素”和“性质”:结合图形特点（特殊三角形、四边形）逐步拆解，辅助线以“连接旋转中心与对应点”为优先. 【题型6】旋转综合题——线段问题 【例题6】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． （1）填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （2）求证：； （3）若，，求正方形的边长． 【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度（）得到，当是直角三角形时，的长为 ． 【题型7】旋转综合题——角度问题 【例题7】（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． （1）若，，求的度数． （2）连接，若，求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知两块相同的三角板如图摆放，点B，C，E在同一直线上，，，将绕点C顺时针旋转角度当旋转角为 时，与的边垂直． 【题型8】旋转综合题——面积问题 【例题8】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． （1）求的度数． （2）求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．3 D．2 【变式2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 3．（24-25九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 4．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位，得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是 ． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，是等边三角形，D为外一点，，则的长为 ．    11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是 ． 12．（2025·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为 ． 三、解答题 13．（19-20九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． （1）请写出旋转中心及旋转角的度数； （2）若，求的度数和的长． 14．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． （1）求的度数； （2）是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 15．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图1，已知点在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H． （1）求出的度数； （2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由； （3）若将绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由． 16．（24-25八年级下·广东河源·期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】 （2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将轴所在的直线绕原点逆时针旋转，再向下平移1个单位后得到直线，则直线对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·天津静海·阶段练习）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，以点A为中心，把逆时针旋转，得到，连接，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，绕点旋转到，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．4， B．2， C．1， D．3， 6．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，平分交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，我们把这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边三角形的顶点A在第一象限，顶点B与原点O重合，顶点C在x轴的正半轴上，是经过变换所得的图形，其中点的坐标为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 二、填空题 9．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 10．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 12．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则 ． 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为 ． 14．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 15．（2023·湖北鄂州·二模）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为 ．    16．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，，连接，是上一点，，连接交于点，若，， ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，如图所示， （1）请画出向右平移5个单位后得到的． （2）经过一次旋转得到 ①请直接写出旋转中心点P的坐标_______． ②经过怎样的旋转可以得到？ 18．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 19．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 20．（24-25九年级上·广西钦州·期末）在中，，将绕点O逆时针旋转得到，点分别是的中点，连接． （1）【证明与推断】如图，当时，求证：；推断：是_______三角形； （2）【类比探究】如图，当时，判断的形状，并加以证明； （3）【拓展运用】在（）的条件下，当点在上时（如图），设相交于点，若，，求线段的长． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·山东青岛·中考真题）如图，将线段先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 6．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 二、填空题 7．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ． 8．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．    9．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 10．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 三、解答题 11．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 12．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； （3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 图形的旋转 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）旋转 1 【题型1】旋转图形的识别 2 【题型2】找旋转中心、旋转角、对应点 3 知识点（二）旋转的性质 5 【题型3】利用旋转的性质作图 6 【题型4】利用旋转的性质求值 9 【题型5】利用旋转的性质证明 11 知识点（三）旋转综合题型 15 【题型6】旋转综合题——线段问题 15 【题型7】旋转综合题——角度问题 19 【题型8】旋转综合题——面积问题 22 二. 同步练习 26 【基础巩固（16题）】 26 【能力提升（20题）】 38 【中考真题12题】 60 一．知识梳理与题型分类精析 观察上面三幅“风车”图形，进行旋转时图形上各部分有什么特点？ 知识点（一）旋转 像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.如图1，线段绕点逆时针旋转后得到线段，这是点是旋转中心，旋转角是，点和点是对应点. 【题型1】旋转图形的识别 【例题1】（2025·贵州铜仁·三模）下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形变换中的“旋转”，理解旋转的概念是解题关键． 根据旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形称为旋转，旋转前后两个图形形状和大小不变，即可判断． 解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意； B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意； C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意； D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点拨】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 【题型2】找旋转中心、旋转角、对应点 【例题2】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解． 解：如图， 旋转中心为点，旋转角为 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，连接，线段的垂直平分线的交点就是旋转中心点P． 解：由图形可知，对应点的连线的垂直平分线的交点是点， 根据旋转变换的性质，点即为旋转中心． 故旋转中心坐标是． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键． 根据旋转的概念得到是旋转角，即可求解. 解：∵绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴是旋转角， ∴， 故答案为：． 小结：（1）找旋转中心方法：对应点连线垂直平分线交点就是旋转中心；（2）找旋转角方法：对应点和旋转中心连线的夹角就是旋转角. 知识点（二）旋转的性质 性质1：对应点到旋转中心的距离相等； 性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 性质3：旋转前、后的图形全等. 数学语言： 如图2：绕点逆时针方向旋转一定角度得到，点为旋转中心，点与，与，与分别叫对应点，由旋转的性质我们可以得到： （1） （2） （3） ； 【题型3】利用旋转的性质作图 【例题3】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）（1）画出平移后的图形，使点的对应点坐标为． （2）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了旋转变换以及平移变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 解：（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求． 【变式1】（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标，将绕点逆时针旋转得到，点对应点分别是，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】见分析，点的坐标是，点的坐标是． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转．根据旋转的性质得到点A，O，B的对应点，即可得到． 解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标是，点的坐标是． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图：在正方形网格上有一个． （1）画出关于直线的对称图形； （2）以点N为原点，所在直线为y轴作出平面直角坐标系； （3）画出将绕点A逆时针旋转得到的； （4）在（2）（3） 的条件下， 正方形格子边长为1， 点（ ， ）， 点（ ， ）． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4） 【分析】本题考查了坐标系在网格中的轴对称图形的画法，旋转图形的画法，确定点的坐标，建立坐标系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据要求建立坐标系即可； （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （4）根据旋转后的图形，写出点的坐标即可． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：坐标系如图所示； （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据旋转后的图形可得， ， 故答案为：． 【题型4】利用旋转的性质求值 【例题4】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． （1）求点P与点D之间的距离； （2）求线段的长． 【答案】（1）12；（2）13 【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． （1）连接．根据等边三角形的判定和性质，旋转的性质得出是等边三角形，即可求解； （2）利用等边三角形的性质确定是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 解：（1）解：如图，连接． 是等边三角形， ． 是绕点B逆时针旋转得到的， ， ． ， 是等边三角形． ，即点P与点D之间的距离是12． （2），是等边三角形． ， 是直角三角形， ， ， ． 由（1）知． ． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案． 解：，， ， 绕点C逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 在中，， ， 解得． 故选：A． 【点拨】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则 ． 【答案】/77度 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得，然后利用三角形外角性质得，从而得到的度数． 解：∵绕点顺时针旋转后得到的， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】利用旋转的性质证明 【例题5】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）四边形是正方形，详见分析；（2），详见分析 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， （1）先证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）过点D作于H，结合正方形性质证明，得出，根据即可证明结论． 解：（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，． 又∵， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2）；理由如下： 如图，过点D作于H， ∵，， ∵，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴（）， ∴． ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断， ③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断， ④由，，在中，应用勾股定理，即可判断， ②根据与的关系，判断与的关系，即可判断， 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确， ， ，即：平分，故③正确， ， ， 在中，，即：，故④正确， 与不一定相等， 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故答案为：①③④． 知识点（三）旋转综合题型 1.旋转综合题的核心是“转化”：通过旋转性质将线段、角转化到全等三角形或特殊三角形中，利用等量关系突破； 2.解题时需紧扣“旋转三要素”和“性质”:结合图形特点（特殊三角形、四边形）逐步拆解，辅助线以“连接旋转中心与对应点”为优先. 【题型6】旋转综合题——线段问题 【例题6】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． （1）填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （2）求证：； （3）若，，求正方形的边长． 【答案】（1）A，90；（2）证明见分析；（3）正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 解：（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线，利用旋转的性质，找到对应线段的关系，从而确定点 的坐标．本题主要考查了坐标与图形变化 - 旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ． 线段 绕点 逆时针旋转 ， ，， ，，， ， ， ，， ，， ，， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度（）得到，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】10或 【分析】此题考查旋转的性质，勾股定理，根据勾股定理可求出，则，然后进行分类讨论：①当时，②当时，据此解答． 解：∵， ∴根据勾股定理可得： ∵， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转α度（）得到， ∴， ∵点D为的中点， ∴ ， ①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， 在中，， 在中，， 综上：的长为10或． 故答案为：10或． 【题型7】旋转综合题——角度问题 【例题7】（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． （1）若，，求的度数． （2）连接，若，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）证明即可求解； （2）先证明，再利用勾股定理求解即可 解：（1）解∶， ， 绕点顺时针旋转至， ， ； （2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点， 旋转至的位置，旋转角为， ， ． 【点拨】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握图形旋转的性质． 由旋转可得，根据三角形外交的性质，计算即可． 解：∵将绕点顺时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知两块相同的三角板如图摆放，点B，C，E在同一直线上，，，将绕点C顺时针旋转角度当旋转角为 时，与的边垂直． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解题关键是利用分类讨论思想解答．分三种情况画图分别进行解答． 解：如图，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时旋转角为， 如图，当时， ∴， ∴ 即此时旋转角为， 当时， ∴， ∴ 即此时旋转角为， 综上所述：当旋转角为或或时，与的边垂直． 故答案为：或或． 【题型8】旋转综合题——面积问题 【例题8】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． （1）求的度数． （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）15 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，由可证，可得，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，即可求解； （2）作，交延长线于点H，利用的外角得出边上的高，利用面积公式即可求解． 解：（1）解：∵等边， ∴． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形． ∴； ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是直角三角形，． ∴． （2）作，交延长线于点H， ∵， ∴边上的高就是， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】过点作于点D，根据旋转的性质可得到是等边三角形，，进而得到阴影部分的面积等于，再由勾股定理求出，继而得到，即可求解． 解：如图，过点作于点D， ∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，阴影部分的面积等于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积是． 故选B． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键． 过点作于点，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，根据，可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长，即可判断出面积比． 解：过点作于点，如图所示： ，，， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ， 即 解得 在中 根据勾股定理，， 根据旋转的性质，可得， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵与的高为， ∴与的面积比为． 故答案为． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解． 解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带上的物品的移动，是平移现象； ③钟摆的运动，是旋转现象； ④荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④共2个． 故选：B． 2．（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 解：由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 3．（24-25九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 连接，在中，根据勾股定理可得，由旋转的性质可得，，，进而可得，由邻补角互补可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出B、D两点间的距离． 解：如图，连接， 在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由旋转的性质可得： ，，， ， ， 在中，，， 根据勾股定理可得： ， 故选：． 4．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位，得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形．根据题意画出图形，即可可得结论． 先求出点绕点逆时针旋转后的坐标为，再求向下平移4个单位后的点的坐标即可． 解：如图所示，点绕点逆时针旋转，得到点， 向下平移4个单位，得到， 故选：D． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．由每次旋转可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可得解． 解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ， 第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A落在x轴的负半轴， 点A坐标为， 故选：． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ． 【答案】 B 45°/45度 【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于与都是等腰直角三角形，由此可以得到与都是，如果经过旋转后能与重合，那么根据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角． 解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上， ∴与都是， 而经过旋转后能与重合， 那么旋转中心为点B，旋转角为， ∴旋转角度为． 故答案为：B，． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据旋转，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 解：∵将绕点O按逆时针方向旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2.5 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 【答案】 /90度 10 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质即可得到答案． 解：四边形是正方形， ， ∵绕点B顺时针旋转与重合， ∴，， ∴， ． 故答案为：，10． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，是等边三角形，D为外一点，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 先将绕点C顺时针旋转到，连接，可得为等边三角形，即可得出，然后根据勾股定理可得答案. 解：将绕点C顺时针旋转到，连接．    则， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 根据勾股定理，得． 故答案为： 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】将函数图象绕其顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将二次函数绕顶点旋转后，得到， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键． 12．（2025·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】题目主要考查中垂线的性质，圆的基本性质，根据题意得出经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，然后作出图形求解即可． 解：经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，由条件“圆心O的横坐标为正整数、纵坐标为负整数”所限， 如图所示： 只有或或三点． 三、解答题 13．（19-20九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． （1）请写出旋转中心及旋转角的度数； （2）若，求的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心为点，旋转角的度数为；（2），． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 解：（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 14．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． （1）求的度数； （2）是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定， （1）根据旋转的性质及三角形内角和定理可得答案； （2）根据旋转的性质可知，再结合已知条件说明，然后根据等角对等边得出答案． 解：（1）解：根据旋转可得， ∴． （2）解：． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ，， ， 即， ． 15．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图1，已知点在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H． （1）求出的度数； （2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由； （3）若将绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解 【分析】本题核心考查等边三角形的性质（三边相等、三角均为）与全等三角形的判定（）．解题关键在于利用等边三角形的边和角的等量关系，结合平角或角的和差推导夹角相等，从而满足全等判定条件． （1）利用等边三角形内角为，结合平角定义计算的度数； （2）通过等边三角形的边相等、角相等，寻找满足全等判定条件（如）的三角形； （3）分析图形旋转后，等边三角形的边和角的关系是否保持，进而判断全等结论是否成立． 解：（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∵点B、C、D在同一直线上，， ∴； （2）解：在图1中，和是一对全等的三角形，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，， ， ∴，即； 在和中， ， ∴． （3）解：（2）中的结论仍然成立．理由如下： ∵将绕C点转动到如图2所示的位置，和仍为为等边三角形， ，， ∴，即， 在和中， ， ，即（2）中的结论仍然成立． 16．（24-25八年级下·广东河源·期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】 （2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 【答案】（1）与，见分析；（2）见分析；（3）当点D在运动到的中点位置时，的周长最小，最小值为 【分析】对于（1），由旋转的性质，根据“边角边”证明，即可得出答案； 对于（2），先说明是等边三角形，进而得，再由（1）中，可得，接下来说明，则结论可得； 对于（3），当点D在运动到的中点位置时，的周长最小，由前两问可得，可知当最小时，的周长最小，此时， 再结合勾股定理求出，可得答案. 解：（1）解：. 理由是：由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ； （2）证明：平分 理由是：∵绕点A逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， ． 由（1）的证明可得，， ， ， ， 即平分； （3）解：当点D在运动到的中点位置时，的周长最小 连接AE，由（1）的证明可得，， . 是等边三角形， ， ， ∴当最小时，的周长最小，此时， 是等边三角形，边长为2， ， 的周长最小值为． 即当点D在运动到BC的中点位置时，的周长最小，最小值为． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，确定最小值是解题的关键. 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将轴所在的直线绕原点逆时针旋转，再向下平移1个单位后得到直线，则直线对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，等腰三角形的判定，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出将轴所在的直线绕原点逆时针旋转后的直线解析式，再由一次函数的平移规律求解即可． 解：如图，在将轴所在的直线绕原点逆时针旋转后的直线上任取一点（非原点），过点作轴于点， 由题意得：，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则， 设直线 则代入得：， ∴， ∴直线， ∴再向下平移1个单位后得到直线，则直线对应的函数表达式为， 故选：D． 2．（24-25九年级下·天津静海·阶段练习）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．设，利用旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理逐一判断即可． 解：设， ∵，由旋转的性质得，，， ∴， 故选项A不成立，不符合题意； ∴，， ∴， 故选项C成立，符合题意； ∵， ∴，故选项B不成立，不符合题意； ∵，且， ∴与不一定垂直，故选项D不成立，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，以点A为中心，把逆时针旋转，得到，连接，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得：，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 解：由旋转得：，， 是等边三角形， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，绕点旋转到，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质的应用，根据旋转的性质得，继而得到，根据三角形内角和定理求出，即可求出答案．掌握旋转的性质是解题的关键． 解：∵绕点旋转到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数是． 故选：A． 5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．4， B．2， C．1， D．3， 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定；由旋转的性质和平移的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解. 解：∵将沿射线的方向平移，得到， ， ∵将绕点逆时针旋转后，点恰好与点重合， ， 是等边三角形， ∴∠，， ∴， ∴平移的距离为， 故选：D. 6．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，平分交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转可证明，故，设，则，，在中，由勾股定理可得：，解得，即可由求解． 解：∵正方形的边长为5， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 解得， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 7．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，我们把这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边三角形的顶点A在第一象限，顶点B与原点O重合，顶点C在x轴的正半轴上，是经过变换所得的图形，其中点的坐标为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，过点作轴于点，先求得点的坐标为，再求出，据此求解即可． 解：如图，过点作轴于点． ∵是经过变换所得的图形，其中点的坐标为， ∴将向右平移个单位长度后，点的对应点的坐标为，， ∵是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ∴． 故选：C． 8．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线，勾股定理求出，，证明出是等边三角形，连接、，作于点，则，勾股定理求出，证明出，得到，然后利用求解即可． 解：取的中点，在上取一点，连接，使，作射线， 四边形是矩形，，， ，， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， 连接、，作于点，则， ， ， ， ， 将线段逆时针旋转到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【答案】125 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．据此解答即可． 解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了旋转的性质，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形．由图形旋转可以得到旋转前后边长和角度不变，结合勾股定理求解边长是解决本题的关键． 分类讨论这个直角三角形的直角为是直角和是直角这两种情况，由含有的直角三角形求解边长，再结合勾股定理即可求解． 解：∵在中，，，， ∴，， ∵是由绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， 即， 解得， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 当时，连接，如图， ∵， 在，， 综上，的值为4或． 故答案为：4或． 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一次函数与轴、轴分别交于，两点，则，，故有，由，从而得出，绕点顺时针时针旋转至，连接，所以，，，，则有，，通过三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质得，，最后由勾股定理即可求解． 解：∵一次函数与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，绕点顺时针旋转至，连接， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，平行四边形的性质，根据平移思想，求出点坐标，连接，作轴，轴，证明，进而求出的坐标即可． 解：∵的顶点的坐标分别为，， ∴点向右，向上各平移1个单位得到点， ∴点向右，向上各平移1个单位得到点， ∴， 连接，作轴，轴，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（2023·湖北鄂州·二模）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为 ．    【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，    ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，，连接，是上一点，，连接交于点，若，， ． 【答案】/ 【分析】如图，连接，则，可证是等腰直角三角形，，如图，延长交的延长线于，则，，如图，将绕着点逆时针旋转到，连接，证明，则，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，可求，由，可得，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图，延长交的延长线于， ∴， ∴， 如图，将绕着点逆时针旋转到，连接， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键 三、解答题 17．（24-25八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，如图所示， （1）请画出向右平移5个单位后得到的． （2）经过一次旋转得到 ①请直接写出旋转中心点P的坐标_______． ②经过怎样的旋转可以得到？ 【答案】（1）见分析；（2）①；②绕点逆时针旋转可以得到 【分析】此题考查了平移和旋转的作图和性质，根据旋转和平移的性质进行解答即即可． （1）根据平移方式作图即可得到答案； （2）①根据旋转的特征找到旋转中心即可；②根据旋转的特征找到旋转三要素即可． 解：（1）解：如图，即为所求， （2）①旋转中心点P的坐标为， 故答案为： ②由题意可得，绕点逆时针旋转可以得到 18．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可得，，则，则有，从而得证； （）由旋转性质可得，，，则，，然后通过角度和差即可求解． 解：（1）证明：∵是由旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：，理由： 由旋转的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键； （1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可； （2）由旋转知是等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴由勾股定理得：． 20．（24-25九年级上·广西钦州·期末）在中，，将绕点O逆时针旋转得到，点分别是的中点，连接． （1）【证明与推断】如图，当时，求证：；推断：是_______三角形； （2）【类比探究】如图，当时，判断的形状，并加以证明； （3）【拓展运用】在（）的条件下，当点在上时（如图），设相交于点，若，，求线段的长． 【答案】（）见分析；等腰直角；（）是等腰直角三角形，证明见分析；（）． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）由旋转的性质可得，，，，再通过中点定义可得，最后证明；  由全等三角形性质可得，，可得，从而求解； （）同（）可证得，则，，可得，从而求解； （）由（）可知，是等腰直角三角形，则，即，设，则，即，又点是的中点，，则，由勾股定理得，即，求出的值即可． 解：（）证明：由旋转的性质可得，，，， ∵点分别是的中点， ∴， ∴，    ∵，，， ∴；   解：∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （）解：是等腰直角三角形，理由如下：     由旋转的性质可得，，，，， 同（）可证得，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形．   （）解：由（）可知，是等腰直角三角形， ∴，即， 设，则， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 2．（2023·山东青岛·中考真题）如图，将线段先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平移的性质得，点，再由旋转的性质得点与关于原点对称，即可得出结论． 解： 解：如图，    由题意可知，点，， 由平移的性质得：，点， 由旋转的性质得：点与关于原点对称， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 3．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 二、填空题 7．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 解：过A点作轴，过B点作轴，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴, ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题． 8．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．    【答案】2 【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 解：过点作于点F，则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ， ，，解得， ∴． 故答案为：2    【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 9．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 10．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 【答案】 【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 解：（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 12．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； （3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 解：（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点拨】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$